Алгебра Примеры

$f (x) = {(\frac{x}{3})}^{3} + 6$

Этап 1

Запишем $f (x) = {(\frac{x}{3})}^{3} + 6$ в виде уравнения.

$y = {(\frac{x}{3})}^{3} + 6$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = {(\frac{y}{3})}^{3} + 6$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде ${(\frac{y}{3})}^{3} + 6 = x$ .

${(\frac{y}{3})}^{3} + 6 = x$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило умножения к $\frac{y}{3}$ .

$\frac{y^{3}}{3^{3}} + 6 = x$

Этап 3.2.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{y^{3}}{27} + 6 = x$

Этап 3.3

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y^{3}}{27} = x - 6$

Этап 3.4

Умножим обе части уравнения на $27$ .

$27 \frac{y^{3}}{27} = 27 (x - 6)$

Этап 3.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1

Сократим общий множитель.

$27 \frac{y^{3}}{27} = 27 (x - 6)$

Этап 3.5.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = 27 (x - 6)$

Этап 3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим $27 (x - 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = 27 x + 27 \cdot - 6$

Этап 3.5.2.1.2

Умножим $27$ на $- 6$ .

$y^{3} = 27 x - 162$

Этап 3.6

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{27 x - 162}$

Этап 3.7

Упростим $\sqrt[3]{27 x - 162}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Вынесем множитель $27$ из $27 x - 162$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Вынесем множитель $27$ из $27 x$ .

$y = \sqrt[3]{27 (x) - 162}$

Этап 3.7.1.2

Вынесем множитель $27$ из $- 162$ .

$y = \sqrt[3]{27 x + 27 \cdot - 6}$

Этап 3.7.1.3

Вынесем множитель $27$ из $27 x + 27 \cdot - 6$ .

$y = \sqrt[3]{27 (x - 6)}$

Этап 3.7.2

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{3^{3} (x - 6)}$

Этап 3.7.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = 3 \sqrt[3]{x - 6}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt[3]{x - 6}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 3 \sqrt[3]{x - 6}$ обратной к $f (x) = {(\frac{x}{3})}^{3} + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 \sqrt[3]{({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) - 6}$

Этап 5.2.3

Применим правило умножения к $\frac{x}{3}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3^{3}} + 6 - 6}$

Этап 5.2.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{27} + 6 - 6}$

Этап 5.2.5

Вычтем $6$ из $6$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{27} + 0}$

Этап 5.2.6

Добавим $\frac{x^{3}}{27}$ и $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{27}}$

Этап 5.2.7

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3^{3}}}$

Этап 5.2.8

Перепишем $\frac{x^{3}}{3^{3}}$ в виде ${(\frac{x}{3})}^{3}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 \sqrt[3]{{(\frac{x}{3})}^{3}}$

Этап 5.2.9

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 (\frac{x}{3})$

Этап 5.2.10

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 (\frac{x}{3})$

Этап 5.2.10.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (3 \sqrt[3]{x - 6})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = {(\frac{3 \sqrt[3]{x - 6}}{3})}^{3} + 6$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = {(\frac{3 \sqrt[3]{x - 6}}{3})}^{3} + 6$

Этап 5.3.3.1.2

Разделим $\sqrt[3]{x - 6}$ на $1$ .

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = {\sqrt[3]{x - 6}}^{3} + 6$

Этап 5.3.3.2

Перепишем ${\sqrt[3]{x - 6}}^{3}$ в виде $x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x - 6}$ в виде ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = {({(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 6$

Этап 5.3.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = {(x - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 6$

Этап 5.3.3.2.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} + 6$

Этап 5.3.3.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} + 6$

Этап 5.3.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = (x - 6) + 6$

Этап 5.3.3.2.5

Упростим.

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = x - 6 + 6$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 6 + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 6$ и $6$ .

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 3 \sqrt[3]{x - 6}$ — обратная к $f (x) = {(\frac{x}{3})}^{3} + 6$ .

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt[3]{x - 6}$