Алгебра Примеры

$4 y^{2} + x = 56 y - 194$

Этап 1

Вычтем $4 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x = 56 y - 194 - 4 y^{2}$

Этап 2

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим $56 y - 194 - 4 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Перенесем $- 194$ .

$x = 56 y - 4 y^{2} - 194$

Этап 2.1.1.2

Изменим порядок $56 y$ и $- 4 y^{2}$ .

$x = - 4 y^{2} + 56 y - 194$

Этап 2.1.2

Составим полный квадрат для $- 4 y^{2} + 56 y - 194$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 4$

$b = 56$

$c = - 194$

Этап 2.1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{56}{2 \cdot - 4}$

Этап 2.1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $56$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $56$ .

$d = \frac{2 \cdot 28}{2 \cdot - 4}$

Этап 2.1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 28}{2 (- 4)}$

Этап 2.1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 28}{2 \cdot - 4}$

Этап 2.1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{28}{- 4}$

Этап 2.1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $28$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$d = \frac{4 (7)}{- 4}$

Этап 2.1.2.3.2.2.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{7}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 7$

Этап 2.1.2.3.2.3

Умножим $- 1$ на $7$ .

$d = - 7$

Этап 2.1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 194 - \frac{56^{2}}{4 \cdot - 4}$

Этап 2.1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.2.1.1

Возведем $56$ в степень $2$ .

$e = - 194 - \frac{3136}{4 \cdot - 4}$

Этап 2.1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$e = - 194 - \frac{3136}{- 16}$

Этап 2.1.2.4.2.1.3

Разделим $3136$ на $- 16$ .

$e = - 194 - - 196$

Этап 2.1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 196$ .

$e = - 194 + 196$

Этап 2.1.2.4.2.2

Добавим $- 194$ и $196$ .

$e = 2$

Этап 2.1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 4 {(y - 7)}^{2} + 2$ .

$- 4 {(y - 7)}^{2} + 2$

Этап 2.1.3

Приравняем $x$ к новой правой части.

$x = - 4 {(y - 7)}^{2} + 2$

Этап 2.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 4$

$h = 2$

$k = 7$

Этап 2.3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены влево.

Обращены влево

Этап 2.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(2, 7)$

Этап 2.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 2.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 4}$

Этап 2.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Умножим $4$ на $- 4$ .

$\frac{1}{- 16}$

Этап 2.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{16}$

Этап 2.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате x $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$(h + p, k)$

Этап 2.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{31}{16}, 7)$

Этап 2.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$y = 7$

Этап 2.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Директриса параболы ― это вертикальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из x-координаты вершины $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$x = h - p$

Этап 2.8.2

Подставим известные значения $p$ и $h$ в формулу и упростим.

$x = \frac{33}{16}$

Этап 2.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление: обращены влево

Вершина: $(2, 7)$

Фокус: $(\frac{31}{16}, 7)$

Ось симметрии: $y = 7$

Директриса: $x = \frac{33}{16}$

Направление: обращены влево

Вершина: $(2, 7)$

Фокус: $(\frac{31}{16}, 7)$

Ось симметрии: $y = 7$

Директриса: $x = \frac{33}{16}$

Этап 3

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим значение $x$ $0$ в $f (x) = \frac{14 + \sqrt{- x + 2}}{2}$ . В данном случае получится точка $(0, 7.70710678)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{14 + \sqrt{- (0) + 2}}{2}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = \frac{14 + \sqrt{0 + 2}}{2}$

Этап 3.1.2.1.2

Добавим $0$ и $2$ .

$f (0) = \frac{14 + \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{14 + \sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{14 + \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.1.3

Преобразуем $\frac{14 + \sqrt{2}}{2}$ в десятичное представление.

$= 7.70710678$

Этап 3.2

Подставим значение $x$ $0$ в $f (x) = \frac{14 - \sqrt{- x + 2}}{2}$ . В данном случае получится точка $(0, 6.29289321)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{14 - \sqrt{- (0) + 2}}{2}$

Этап 3.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = \frac{14 - \sqrt{0 + 2}}{2}$

Этап 3.2.2.1.2

Добавим $0$ и $2$ .

$f (0) = \frac{14 - \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.2.2.2

Окончательный ответ: $\frac{14 - \sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{14 - \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.2.3

Преобразуем $\frac{14 - \sqrt{2}}{2}$ в десятичное представление.

$= 6.29289321$

Этап 3.3

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = \frac{14 + \sqrt{- x + 2}}{2}$ . В данном случае получится точка $(1, 7.5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{14 + \sqrt{- (1) + 2}}{2}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = \frac{14 + \sqrt{- 1 + 2}}{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Добавим $- 1$ и $2$ .

$f (1) = \frac{14 + \sqrt{1}}{2}$

Этап 3.3.2.1.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (1) = \frac{14 + 1}{2}$

Этап 3.3.2.1.4

Добавим $14$ и $1$ .

$f (1) = \frac{15}{2}$

Этап 3.3.2.2

Окончательный ответ: $\frac{15}{2}$ .

$y = \frac{15}{2}$

Этап 3.3.3

Преобразуем $\frac{15}{2}$ в десятичное представление.

$= 7.5$

Этап 3.4

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = \frac{14 - \sqrt{- x + 2}}{2}$ . В данном случае получится точка $(1, 6.5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{14 - \sqrt{- (1) + 2}}{2}$

Этап 3.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = \frac{14 - \sqrt{- 1 + 2}}{2}$

Этап 3.4.2.1.2

Добавим $- 1$ и $2$ .

$f (1) = \frac{14 - \sqrt{1}}{2}$

Этап 3.4.2.1.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (1) = \frac{14 - 1 \cdot 1}{2}$

Этап 3.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = \frac{14 - 1}{2}$

Этап 3.4.2.1.5

Вычтем $1$ из $14$ .

$f (1) = \frac{13}{2}$

Этап 3.4.2.2

Окончательный ответ: $\frac{13}{2}$ .

$y = \frac{13}{2}$

Этап 3.4.3

Преобразуем $\frac{13}{2}$ в десятичное представление.

$= 6.5$

Этап 3.5

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 7.71 \\ 0 & 6.29 \\ 1 & 7.5 \\ 1 & 6.5 \\ 2 & 7 \end{array}$

Этап 4

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление: обращены влево

Вершина: $(2, 7)$

Фокус: $(\frac{31}{16}, 7)$

Ось симметрии: $y = 7$

Директриса: $x = \frac{33}{16}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 7.71 \\ 0 & 6.29 \\ 1 & 7.5 \\ 1 & 6.5 \\ 2 & 7 \end{array}$

Этап 5