Алгебра Примеры

$K (x) = \frac{2 x + 1}{3 x - 2}$

Этап 1

Запишем $K (x) = \frac{2 x + 1}{3 x - 2}$ в виде уравнения.

$y = \frac{2 x + 1}{3 x - 2}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{2 y + 1}{3 y - 2}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим уравнение на $3 y - 2$ .

$(3 y - 2) (x) = (\frac{2 y + 1}{3 y - 2}) (3 y - 2)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y x - 2 x = (\frac{2 y + 1}{3 y - 2}) (3 y - 2)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $3 y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$3 y x - 2 x = \frac{2 y + 1}{3 y - 2} (3 y - 2)$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$3 y x - 2 x = 2 y + 1$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$3 y x - 2 x - 2 y = 1$

Этап 3.4.2

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$3 y x - 2 y = 1 + 2 x$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $y$ из $3 y x - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $3 y x$ .

$y (3 x) - 2 y = 1 + 2 x$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y$ .

$y (3 x) + y \cdot - 2 = 1 + 2 x$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (3 x) + y \cdot - 2$ .

$y (3 x - 2) = 1 + 2 x$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $y (3 x - 2) = 1 + 2 x$ на $3 x - 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $y (3 x - 2) = 1 + 2 x$ на $3 x - 2$ .

$\frac{y (3 x - 2)}{3 x - 2} = \frac{1}{3 x - 2} + \frac{2 x}{3 x - 2}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $3 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (3 x - 2)}{3 x - 2} = \frac{1}{3 x - 2} + \frac{2 x}{3 x - 2}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{1}{3 x - 2} + \frac{2 x}{3 x - 2}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{1 + 2 x}{3 x - 2}$

Этап 4

Заменим $y$ на $K^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$K^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{3 x - 2}$

Этап 5

Проверим, является ли $K^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{3 x - 2}$ обратной к $K (x) = \frac{2 x + 1}{3 x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $K^{- 1} (K (x)) = x$ и $K (K^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $K^{- 1} (K (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$K^{- 1} (K (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2})$ , подставив значение $K$ в $K^{- 1}$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{1 + 2 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2})}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Объединим $2$ и $\frac{2 x + 1}{3 x - 2}$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{1 + \frac{2 (2 x + 1)}{3 x - 2}}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Этап 5.2.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{3 x - 2}{3 x - 2} + \frac{2 (2 x + 1)}{3 x - 2}}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Этап 5.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{3 x - 2 + 2 (2 x + 1)}{3 x - 2}}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Этап 5.2.3.4

Изменим порядок членов.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{3 x + 2 (2 x + 1) - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Этап 5.2.3.5

Перепишем $\frac{3 x + 2 (2 x + 1) - 2}{3 x - 2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{3 x + 2 (2 x) + 2 \cdot 1 - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Этап 5.2.3.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{3 x + 4 x + 2 \cdot 1 - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Этап 5.2.3.5.3

Умножим $2$ на $1$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{3 x + 4 x + 2 - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Этап 5.2.3.5.4

Добавим $3 x$ и $4 x$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x + 2 - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Этап 5.2.3.5.5

Вычтем $2$ из $2$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x + 0}{3 x - 2}}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Этап 5.2.3.5.6

Добавим $7 x$ и $0$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Этап 5.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим $3$ и $\frac{2 x + 1}{3 x - 2}$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (2 x + 1)}{3 x - 2} - 2}$

Этап 5.2.4.2

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (2 x + 1)}{3 x - 2} - 2 \cdot \frac{3 x - 2}{3 x - 2}}$

Этап 5.2.4.3

Объединим $- 2$ и $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (2 x + 1)}{3 x - 2} + \frac{- 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Этап 5.2.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (2 x + 1) - 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Этап 5.2.4.5

Перепишем $\frac{3 (2 x + 1) - 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 1 - 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Этап 5.2.4.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{6 x + 3 \cdot 1 - 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Этап 5.2.4.5.3

Умножим $3$ на $1$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{6 x + 3 - 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Этап 5.2.4.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{6 x + 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2}{3 x - 2}}$

Этап 5.2.4.5.5

Умножим $3$ на $- 2$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{6 x + 3 - 6 x - 2 \cdot - 2}{3 x - 2}}$

Этап 5.2.4.5.6

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{6 x + 3 - 6 x + 4}{3 x - 2}}$

Этап 5.2.4.5.7

Вычтем $6 x$ из $6 x$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{0 + 3 + 4}{3 x - 2}}$

Этап 5.2.4.5.8

Добавим $0$ и $3$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 + 4}{3 x - 2}}$

Этап 5.2.4.5.9

Добавим $3$ и $4$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{7}{3 x - 2}}$

Этап 5.2.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{7 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{7}$

Этап 5.2.6

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Вынесем множитель $7$ из $7 x$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{7 (x)}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{7}$

Этап 5.2.6.2

Сократим общий множитель.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{7 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{7}$

Этап 5.2.6.3

Перепишем это выражение.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

Этап 5.2.7

Сократим общий множитель $3 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Сократим общий множитель.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

Этап 5.2.7.2

Перепишем это выражение.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $K (K^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$K (K^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2})$ , подставив значение $K^{- 1}$ в $K$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{2 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) + 1}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Объединим $2$ и $\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 (1 + 2 x)}{3 x - 2} + 1}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Этап 5.3.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 (1 + 2 x)}{3 x - 2} + \frac{3 x - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Этап 5.3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 (1 + 2 x) + 3 x - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Этап 5.3.3.4

Изменим порядок членов.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{3 x + 2 (1 + 2 x) - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Этап 5.3.3.5

Перепишем $\frac{3 x + 2 (1 + 2 x) - 2}{3 x - 2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{3 x + 2 \cdot 1 + 2 (2 x) - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Этап 5.3.3.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{3 x + 2 + 2 (2 x) - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Этап 5.3.3.5.3

Умножим $2$ на $2$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{3 x + 2 + 4 x - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Этап 5.3.3.5.4

Добавим $3 x$ и $4 x$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x + 2 - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Этап 5.3.3.5.5

Вычтем $2$ из $2$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x + 0}{3 x - 2}}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Этап 5.3.3.5.6

Добавим $7 x$ и $0$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Этап 5.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Объединим $3$ и $\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (1 + 2 x)}{3 x - 2} - 2}$

Этап 5.3.4.2

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (1 + 2 x)}{3 x - 2} - 2 \cdot \frac{3 x - 2}{3 x - 2}}$

Этап 5.3.4.3

Объединим $- 2$ и $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (1 + 2 x)}{3 x - 2} + \frac{- 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Этап 5.3.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (1 + 2 x) - 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Этап 5.3.4.5

Перепишем $\frac{3 (1 + 2 x) - 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 \cdot 1 + 3 (2 x) - 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Этап 5.3.4.5.2

Умножим $3$ на $1$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 + 3 (2 x) - 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Этап 5.3.4.5.3

Умножим $2$ на $3$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 + 6 x - 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Этап 5.3.4.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 + 6 x - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2}{3 x - 2}}$

Этап 5.3.4.5.5

Умножим $3$ на $- 2$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 + 6 x - 6 x - 2 \cdot - 2}{3 x - 2}}$

Этап 5.3.4.5.6

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 + 6 x - 6 x + 4}{3 x - 2}}$

Этап 5.3.4.5.7

Добавим $3$ и $4$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{6 x - 6 x + 7}{3 x - 2}}$

Этап 5.3.4.5.8

Вычтем $6 x$ из $6 x$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{0 + 7}{3 x - 2}}$

Этап 5.3.4.5.9

Добавим $0$ и $7$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{7}{3 x - 2}}$

Этап 5.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{7 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{7}$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Вынесем множитель $7$ из $7 x$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{7 (x)}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{7}$

Этап 5.3.6.2

Сократим общий множитель.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{7 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{7}$

Этап 5.3.6.3

Перепишем это выражение.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $3 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Сократим общий множитель.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

Этап 5.3.7.2

Перепишем это выражение.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = x$

Этап 5.4

Так как $K^{- 1} (K (x)) = x$ и $K (K^{- 1} (x)) = x$ , то $K^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{3 x - 2}$ — обратная к $K (x) = \frac{2 x + 1}{3 x - 2}$ .

$K^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{3 x - 2}$