Алгебра Примеры

$(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} - i \sqrt{2})$

Этап 1

Развернем $(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} - i \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} - i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} - i \sqrt{2})$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} - i \sqrt{2})$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.1.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.1.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2^{1}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.3

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2}) + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.4

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} (- i \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Объединим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $i$ .

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2} \sqrt{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.4.2

Объединим $\sqrt{2}$ и $\frac{\sqrt{2} i}{2}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} i)}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2} i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.4.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1} i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1} i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2} i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.5

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}} i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}} i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} - \frac{2^{1} i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{2} - \frac{2 i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} - \frac{2 i}{2} + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.6.2

Разделим $i$ на $1$ .

$\frac{1}{2} - i + i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.7

Умножим $i \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Объединим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $i$ .

$\frac{1}{2} - i + \frac{\sqrt{2} i}{2} \sqrt{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.7.2

Объединим $\frac{\sqrt{2} i}{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$\frac{1}{2} - i + \frac{\sqrt{2} i \sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.7.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} - i + \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2} i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.7.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} - i + \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1} i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.7.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} - i + \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1} i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.7.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} - i + \frac{{\sqrt{2}}^{2} i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.8

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} - i + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.8.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} - i + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{2} - i + \frac{2^{\frac{2}{2}} i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} - i + \frac{2^{\frac{2}{2}} i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.8.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} - i + \frac{2^{1} i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.8.5

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{2} - i + \frac{2 i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} - i + \frac{2 i}{2} + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.9.2

Разделим $i$ на $1$ .

$\frac{1}{2} - i + i + i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$

Этап 2.1.10

Умножим $i \sqrt{2} (- i \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} - i + i + \sqrt{2} (- (i^{1} i) \sqrt{2})$

Этап 2.1.10.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} - i + i + \sqrt{2} (- (i^{1} i^{1}) \sqrt{2})$

Этап 2.1.10.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} - i + i + \sqrt{2} (- i^{1 + 1} \sqrt{2})$

Этап 2.1.10.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} - i + i + \sqrt{2} (- i^{2} \sqrt{2})$

Этап 2.1.10.5

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} - i + i - i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Этап 2.1.10.6

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} - i + i - i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Этап 2.1.10.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} - i + i - i^{2} {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Этап 2.1.10.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} - i + i - i^{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Этап 2.1.11

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{1}{2} - i + i - - 1 {\sqrt{2}}^{2}$

Этап 2.1.12

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} - i + i + 1 {\sqrt{2}}^{2}$

Этап 2.1.13

Умножим ${\sqrt{2}}^{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} - i + i + {\sqrt{2}}^{2}$

Этап 2.1.14

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.14.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} - i + i + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.1.14.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} - i + i + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.1.14.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{2} - i + i + 2^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.1.14.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.14.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} - i + i + 2^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.1.14.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} - i + i + 2^{1}$

Этап 2.1.14.5

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{2} - i + i + 2$

Этап 2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2} - i + i$

Этап 2.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} - i + i$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + 2 \cdot 2}{2} - i + i$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1 + 4}{2} - i + i$

Этап 2.5.2

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{5}{2} - i + i$

Этап 2.6

Добавим $- i$ и $i$ .

$\frac{5}{2} + 0$

Этап 2.7

Добавим $\frac{5}{2}$ и $0$ .

$\frac{5}{2}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{5}{2}$

Десятичная форма:

$2.5$

Форма смешанных чисел:

$2 \frac{1}{2}$