Алгебра Примеры

$\frac{x - 2}{x + 3} \leq \frac{5}{3}$

Этап 1

Вычтем $\frac{5}{3}$ из обеих частей неравенства.

$\frac{x - 2}{x + 3} - \frac{5}{3} \leq 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x - 2}{x + 3} - \frac{5}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{x - 2}{x + 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x - 2}{x + 3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5}{3} \leq 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{5}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x - 2}{x + 3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 3) \cdot 3$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{x - 2}{x + 3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 3}{(x + 3) \cdot 3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} \leq 0$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{5}{3}$ на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 3}{(x + 3) \cdot 3} - \frac{5 (x + 3)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(x + 3) \cdot 3$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 3}{3 (x + 3)} - \frac{5 (x + 3)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x - 2) \cdot 3 - 5 (x + 3)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 3 - 2 \cdot 3 - 5 (x + 3)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Этап 2.5.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\frac{3 \cdot x - 2 \cdot 3 - 5 (x + 3)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Этап 2.5.3

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{3 \cdot x - 6 - 5 (x + 3)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Этап 2.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x - 6 - 5 x - 5 \cdot 3}{3 (x + 3)} \leq 0$

Этап 2.5.5

Умножим $- 5$ на $3$ .

$\frac{3 x - 6 - 5 x - 15}{3 (x + 3)} \leq 0$

Этап 2.5.6

Вычтем $5 x$ из $3 x$ .

$\frac{- 2 x - 6 - 15}{3 (x + 3)} \leq 0$

Этап 2.5.7

Вычтем $15$ из $- 6$ .

$\frac{- 2 x - 21}{3 (x + 3)} \leq 0$

Этап 2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - 21}{3 (x + 3)} \leq 0$

Этап 2.7

Перепишем $- 21$ в виде $- 1 (21)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (21)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Этап 2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (21)$ .

$\frac{- (2 x + 21)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Этап 2.9

Перепишем $- (2 x + 21)$ в виде $- 1 (2 x + 21)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 21)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Этап 2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x + 21}{3 (x + 3)} \leq 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$2 x + 21 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 4

Вычтем $21$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 21$

Этап 5

Разделим каждый член $2 x = - 21$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $2 x = - 21$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 21}{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 21}{2}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 21}{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{21}{2}$

Этап 6

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - \frac{21}{2}$

$x = - 3$

Этап 8

Объединим решения.

$x = - \frac{21}{2}, - 3$

Этап 9

Найдем область определения $- \frac{2 x + 21}{3 (x + 3)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x + 21}{3 (x + 3)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 (x + 3) = 0$

Этап 9.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Разделим каждый член $3 (x + 3) = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Разделим каждый член $3 (x + 3) = 0$ на $3$ .

$\frac{3 (x + 3)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 9.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (x + 3)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 9.2.1.2.1.2

Разделим $x + 3$ на $1$ .

$x + 3 = \frac{0}{3}$

Этап 9.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x + 3 = 0$

Этап 9.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{21}{2}$

$- \frac{21}{2} < x < - 3$

$x > - 3$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{21}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{21}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 13$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 13$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 13) - 2}{(- 13) + 3} \leq \frac{5}{3}$

Этап 11.1.3

Левая часть $1.5$ меньше правой части $1.\overline{6}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $- \frac{21}{2} < x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{21}{2} < x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 7$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $- 7$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 7) - 2}{(- 7) + 3} \leq \frac{5}{3}$

Этап 11.2.3

Левая часть $2.25$ больше правой части $1.\overline{6}$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $x > - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $x > - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) - 2}{(0) + 3} \leq \frac{5}{3}$

Этап 11.3.3

Левая часть $- 0.\overline{6}$ меньше правой части $1.\overline{6}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{21}{2}$ Истина

$- \frac{21}{2} < x < - 3$ Ложь

$x > - 3$ Истина

$x < - \frac{21}{2}$ Истина

$- \frac{21}{2} < x < - 3$ Ложь

$x > - 3$ Истина

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - \frac{21}{2}$ или $x > - 3$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x \leq - \frac{21}{2} or x > - 3$

Интервальное представление:

$(- \infty, - \frac{21}{2}] \cup (- 3, \infty)$

Этап 14