Алгебра Примеры

$\sqrt{25 y^{2} + 40 y + 16} = 5 y + 4$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{25 y^{2} + 40 y + 16}}^{2} = {(5 y + 4)}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{25 y^{2} + 40 y + 16}$ в виде ${(25 y^{2} + 40 y + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(25 y^{2} + 40 y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 y + 4)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(25 y^{2} + 40 y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(25 y^{2} + 40 y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(25 y^{2} + 40 y + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 y + 4)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(25 y^{2} + 40 y + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 y + 4)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(25 y^{2} + 40 y + 16)}^{1} = {(5 y + 4)}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$25 y^{2} + 40 y + 16 = {(5 y + 4)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(5 y + 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(5 y + 4)}^{2}$ в виде $(5 y + 4) (5 y + 4)$ .

$25 y^{2} + 40 y + 16 = (5 y + 4) (5 y + 4)$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(5 y + 4) (5 y + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 5 y (5 y + 4) + 4 (5 y + 4)$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 5 y (5 y) + 5 y \cdot 4 + 4 (5 y + 4)$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 5 y (5 y) + 5 y \cdot 4 + 4 (5 y) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 5 \cdot 5 y \cdot y + 5 y \cdot 4 + 4 (5 y) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.3.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.2.1

Перенесем $y$ .

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 5 \cdot 5 (y \cdot y) + 5 y \cdot 4 + 4 (5 y) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.3.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 5 \cdot 5 y^{2} + 5 y \cdot 4 + 4 (5 y) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $5$ на $5$ .

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 25 y^{2} + 5 y \cdot 4 + 4 (5 y) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.3.1.4

Умножим $4$ на $5$ .

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 25 y^{2} + 20 y + 4 (5 y) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.3.1.5

Умножим $5$ на $4$ .

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 25 y^{2} + 20 y + 20 y + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.3.1.6

Умножим $4$ на $4$ .

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 25 y^{2} + 20 y + 20 y + 16$

Этап 2.3.1.3.2

Добавим $20 y$ и $20 y$ .

$25 y^{2} + 40 y + 16 = 25 y^{2} + 40 y + 16$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $25 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$25 y^{2} + 40 y + 16 - 25 y^{2} = 40 y + 16$

Этап 3.1.2

Вычтем $40 y$ из обеих частей уравнения.

$25 y^{2} + 40 y + 16 - 25 y^{2} - 40 y = 16$

Этап 3.1.3

Объединим противоположные члены в $25 y^{2} + 40 y + 16 - 25 y^{2} - 40 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вычтем $25 y^{2}$ из $25 y^{2}$ .

$40 y + 16 + 0 - 40 y = 16$

Этап 3.1.3.2

Добавим $40 y + 16$ и $0$ .

$40 y + 16 - 40 y = 16$

Этап 3.1.3.3

Вычтем $40 y$ из $40 y$ .

$0 + 16 = 16$

Этап 3.1.3.4

Добавим $0$ и $16$ .

$16 = 16$

Этап 3.2

Поскольку $16 = 16$ , это уравнение всегда будет истинным для любого значения $y$ .

Все вещественные числа

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$