Алгебра Примеры

$\frac{7}{x - 3} - \frac{10 x}{6 x + 9} = \frac{5}{3}$

Этап 1

Вынесем множитель $3$ из $6 x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $3$ из $6 x$ .

$\frac{7}{x - 3} - \frac{10 x}{3 (2 x) + 9} = \frac{5}{3}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{7}{x - 3} - \frac{10 x}{3 (2 x) + 3 (3)} = \frac{5}{3}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (2 x) + 3 (3)$ .

$\frac{7}{x - 3} - \frac{10 x}{3 (2 x + 3)} = \frac{5}{3}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 3, 3 (2 x + 3), 3$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 2.5

НОК $1, 3, 3$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3$

Этап 2.6

Множителем $x - 3$ является само значение $x - 3$ .

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $2 x + 3$ является само значение $2 x + 3$ .

$(2 x + 3) = 2 x + 3$

$(2 x + 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $x - 3, 2 x + 3$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 3) (2 x + 3)$

Этап 2.9

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$3 (x - 3) (2 x + 3)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{7}{x - 3} - \frac{10 x}{3 (2 x + 3)} = \frac{5}{3}$ умножим на $3 (x - 3) (2 x + 3)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{7}{x - 3} - \frac{10 x}{3 (2 x + 3)} = \frac{5}{3}$ на $3 (x - 3) (2 x + 3)$ .

$\frac{7}{x - 3} (3 (x - 3) (2 x + 3)) - \frac{10 x}{3 (2 x + 3)} (3 (x - 3) (2 x + 3)) = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{7}{x - 3} ((x - 3) (2 x + 3)) - \frac{10 x}{3 (2 x + 3)} (3 (x - 3) (2 x + 3)) = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Этап 3.2.1.2

Умножим $3 \frac{7}{x - 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Объединим $3$ и $\frac{7}{x - 3}$ .

$\frac{3 \cdot 7}{x - 3} ((x - 3) (2 x + 3)) - \frac{10 x}{3 (2 x + 3)} (3 (x - 3) (2 x + 3)) = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим $3$ на $7$ .

$\frac{21}{x - 3} ((x - 3) (2 x + 3)) - \frac{10 x}{3 (2 x + 3)} (3 (x - 3) (2 x + 3)) = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Этап 3.2.1.3

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{21}{x - 3} ((x - 3) (2 x + 3)) - \frac{10 x}{3 (2 x + 3)} (3 (x - 3) (2 x + 3)) = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Этап 3.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$21 (2 x + 3) - \frac{10 x}{3 (2 x + 3)} (3 (x - 3) (2 x + 3)) = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Этап 3.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$21 (2 x) + 21 \cdot 3 - \frac{10 x}{3 (2 x + 3)} (3 (x - 3) (2 x + 3)) = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Этап 3.2.1.5

Умножим $2$ на $21$ .

$42 x + 21 \cdot 3 - \frac{10 x}{3 (2 x + 3)} (3 (x - 3) (2 x + 3)) = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Этап 3.2.1.6

Умножим $21$ на $3$ .

$42 x + 63 - \frac{10 x}{3 (2 x + 3)} (3 (x - 3) (2 x + 3)) = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Этап 3.2.1.7

Сократим общий множитель $3 (2 x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{10 x}{3 (2 x + 3)}$ в числитель.

$42 x + 63 + \frac{- 10 x}{3 (2 x + 3)} (3 (x - 3) (2 x + 3)) = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Этап 3.2.1.7.2

Вынесем множитель $3 (2 x + 3)$ из $3 (x - 3) (2 x + 3)$ .

$42 x + 63 + \frac{- 10 x}{3 (2 x + 3)} (3 (2 x + 3) (x - 3)) = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Этап 3.2.1.7.3

Сократим общий множитель.

$42 x + 63 + \frac{- 10 x}{3 (2 x + 3)} (3 (2 x + 3) (x - 3)) = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Этап 3.2.1.7.4

Перепишем это выражение.

$42 x + 63 - 10 x (x - 3) = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Этап 3.2.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$42 x + 63 - 10 x \cdot x - 10 x \cdot - 3 = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Этап 3.2.1.9

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.9.1

Перенесем $x$ .

$42 x + 63 - 10 (x \cdot x) - 10 x \cdot - 3 = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Этап 3.2.1.9.2

Умножим $x$ на $x$ .

$42 x + 63 - 10 x^{2} - 10 x \cdot - 3 = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Этап 3.2.1.10

Умножим $- 3$ на $- 10$ .

$42 x + 63 - 10 x^{2} + 30 x = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Этап 3.2.2

Добавим $42 x$ и $30 x$ .

$72 x + 63 - 10 x^{2} = \frac{5}{3} (3 (x - 3) (2 x + 3))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 (x - 3) (2 x + 3)$ .

$72 x + 63 - 10 x^{2} = \frac{5}{3} (3 ((x - 3) (2 x + 3)))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$72 x + 63 - 10 x^{2} = \frac{5}{3} (3 ((x - 3) (2 x + 3)))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$72 x + 63 - 10 x^{2} = 5 ((x - 3) (2 x + 3))$

Этап 3.3.2

Развернем $(x - 3) (2 x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$72 x + 63 - 10 x^{2} = 5 (x (2 x + 3) - 3 (2 x + 3))$

Этап 3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$72 x + 63 - 10 x^{2} = 5 (x (2 x) + x \cdot 3 - 3 (2 x + 3))$

Этап 3.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$72 x + 63 - 10 x^{2} = 5 (x (2 x) + x \cdot 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot 3)$

Этап 3.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$72 x + 63 - 10 x^{2} = 5 (2 x \cdot x + x \cdot 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot 3)$

Этап 3.3.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$72 x + 63 - 10 x^{2} = 5 (2 (x \cdot x) + x \cdot 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot 3)$

Этап 3.3.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$72 x + 63 - 10 x^{2} = 5 (2 x^{2} + x \cdot 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot 3)$

Этап 3.3.3.1.3

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$72 x + 63 - 10 x^{2} = 5 (2 x^{2} + 3 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot 3)$

Этап 3.3.3.1.4

Умножим $2$ на $- 3$ .

$72 x + 63 - 10 x^{2} = 5 (2 x^{2} + 3 x - 6 x - 3 \cdot 3)$

Этап 3.3.3.1.5

Умножим $- 3$ на $3$ .

$72 x + 63 - 10 x^{2} = 5 (2 x^{2} + 3 x - 6 x - 9)$

Этап 3.3.3.2

Вычтем $6 x$ из $3 x$ .

$72 x + 63 - 10 x^{2} = 5 (2 x^{2} - 3 x - 9)$

Этап 3.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$72 x + 63 - 10 x^{2} = 5 (2 x^{2}) + 5 (- 3 x) + 5 \cdot - 9$

Этап 3.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Умножим $2$ на $5$ .

$72 x + 63 - 10 x^{2} = 10 x^{2} + 5 (- 3 x) + 5 \cdot - 9$

Этап 3.3.5.2

Умножим $- 3$ на $5$ .

$72 x + 63 - 10 x^{2} = 10 x^{2} - 15 x + 5 \cdot - 9$

Этап 3.3.5.3

Умножим $5$ на $- 9$ .

$72 x + 63 - 10 x^{2} = 10 x^{2} - 15 x - 45$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $10 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$72 x + 63 - 10 x^{2} - 10 x^{2} = - 15 x - 45$

Этап 4.1.2

Добавим $15 x$ к обеим частям уравнения.

$72 x + 63 - 10 x^{2} - 10 x^{2} + 15 x = - 45$

Этап 4.1.3

Добавим $72 x$ и $15 x$ .

$63 - 10 x^{2} - 10 x^{2} + 87 x = - 45$

Этап 4.1.4

Вычтем $10 x^{2}$ из $- 10 x^{2}$ .

$63 - 20 x^{2} + 87 x = - 45$

Этап 4.2

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $45$ к обеим частям уравнения.

$63 - 20 x^{2} + 87 x + 45 = 0$

Этап 4.2.2

Добавим $63$ и $45$ .

$- 20 x^{2} + 87 x + 108 = 0$

Этап 4.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.4

Подставим значения $a = - 20$ , $b = 87$ и $c = 108$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 87 \pm \sqrt{87^{2} - 4 \cdot (- 20 \cdot 108)}}{2 \cdot - 20}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Возведем $87$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 87 \pm \sqrt{7569 - 4 \cdot - 20 \cdot 108}}{2 \cdot - 20}$

Этап 4.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 20 \cdot 108$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 20$ .

$x = \frac{- 87 \pm \sqrt{7569 + 80 \cdot 108}}{2 \cdot - 20}$

Этап 4.5.1.2.2

Умножим $80$ на $108$ .

$x = \frac{- 87 \pm \sqrt{7569 + 8640}}{2 \cdot - 20}$

Этап 4.5.1.3

Добавим $7569$ и $8640$ .

$x = \frac{- 87 \pm \sqrt{16209}}{2 \cdot - 20}$

Этап 4.5.1.4

Перепишем $16209$ в виде $3^{2} \cdot 1801$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.4.1

Вынесем множитель $9$ из $16209$ .

$x = \frac{- 87 \pm \sqrt{9 (1801)}}{2 \cdot - 20}$

Этап 4.5.1.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{- 87 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 1801}}{2 \cdot - 20}$

Этап 4.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 87 \pm 3 \sqrt{1801}}{2 \cdot - 20}$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $- 20$ .

$x = \frac{- 87 \pm 3 \sqrt{1801}}{- 40}$

Этап 4.5.3

Упростим $\frac{- 87 \pm 3 \sqrt{1801}}{- 40}$ .

$x = \frac{87 \pm 3 \sqrt{1801}}{40}$

Этап 4.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{87 + 3 \sqrt{1801}}{40}, \frac{87 - 3 \sqrt{1801}}{40}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{87 + 3 \sqrt{1801}}{40}, \frac{87 - 3 \sqrt{1801}}{40}$

Десятичная форма:

$x = 5.35786427 \dots, - 1.00786427 \dots$