Алгебра Примеры

$(\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7}) \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{6} - \sqrt{7})$

Этап 1

Развернем $(\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7}) (\sqrt{5} + \sqrt{6} - \sqrt{7})$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{6} + \sqrt{5} (- \sqrt{7}) + \sqrt{6} \sqrt{5} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{7}) + \sqrt{7} \sqrt{5} + \sqrt{7} \sqrt{6} + \sqrt{7} (- \sqrt{7})$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sqrt{5 \cdot 5} + \sqrt{5} \sqrt{6} + \sqrt{5} (- \sqrt{7}) + \sqrt{6} \sqrt{5} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{7}) + \sqrt{7} \sqrt{5} + \sqrt{7} \sqrt{6} + \sqrt{7} (- \sqrt{7})$

Этап 2.1.2

Умножим $5$ на $5$ .

$\sqrt{25} + \sqrt{5} \sqrt{6} + \sqrt{5} (- \sqrt{7}) + \sqrt{6} \sqrt{5} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{7}) + \sqrt{7} \sqrt{5} + \sqrt{7} \sqrt{6} + \sqrt{7} (- \sqrt{7})$

Этап 2.1.3

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}} + \sqrt{5} \sqrt{6} + \sqrt{5} (- \sqrt{7}) + \sqrt{6} \sqrt{5} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{7}) + \sqrt{7} \sqrt{5} + \sqrt{7} \sqrt{6} + \sqrt{7} (- \sqrt{7})$

Этап 2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$5 + \sqrt{5} \sqrt{6} + \sqrt{5} (- \sqrt{7}) + \sqrt{6} \sqrt{5} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{7}) + \sqrt{7} \sqrt{5} + \sqrt{7} \sqrt{6} + \sqrt{7} (- \sqrt{7})$

Этап 2.1.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$5 + \sqrt{5 \cdot 6} + \sqrt{5} (- \sqrt{7}) + \sqrt{6} \sqrt{5} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{7}) + \sqrt{7} \sqrt{5} + \sqrt{7} \sqrt{6} + \sqrt{7} (- \sqrt{7})$

Этап 2.1.6

Умножим $5$ на $6$ .

$5 + \sqrt{30} + \sqrt{5} (- \sqrt{7}) + \sqrt{6} \sqrt{5} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{7}) + \sqrt{7} \sqrt{5} + \sqrt{7} \sqrt{6} + \sqrt{7} (- \sqrt{7})$

Этап 2.1.7

Умножим $\sqrt{5} (- \sqrt{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$5 + \sqrt{30} - \sqrt{5 \cdot 7} + \sqrt{6} \sqrt{5} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{7}) + \sqrt{7} \sqrt{5} + \sqrt{7} \sqrt{6} + \sqrt{7} (- \sqrt{7})$

Этап 2.1.7.2

Умножим $5$ на $7$ .

$5 + \sqrt{30} - \sqrt{35} + \sqrt{6} \sqrt{5} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{7}) + \sqrt{7} \sqrt{5} + \sqrt{7} \sqrt{6} + \sqrt{7} (- \sqrt{7})$

Этап 2.1.8

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$5 + \sqrt{30} - \sqrt{35} + \sqrt{6 \cdot 5} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{7}) + \sqrt{7} \sqrt{5} + \sqrt{7} \sqrt{6} + \sqrt{7} (- \sqrt{7})$

Этап 2.1.9

Умножим $6$ на $5$ .

$5 + \sqrt{30} - \sqrt{35} + \sqrt{30} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{7}) + \sqrt{7} \sqrt{5} + \sqrt{7} \sqrt{6} + \sqrt{7} (- \sqrt{7})$

Этап 2.1.10

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$5 + \sqrt{30} - \sqrt{35} + \sqrt{30} + \sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{7}) + \sqrt{7} \sqrt{5} + \sqrt{7} \sqrt{6} + \sqrt{7} (- \sqrt{7})$

Этап 2.1.11

Умножим $6$ на $6$ .

$5 + \sqrt{30} - \sqrt{35} + \sqrt{30} + \sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{7}) + \sqrt{7} \sqrt{5} + \sqrt{7} \sqrt{6} + \sqrt{7} (- \sqrt{7})$

Этап 2.1.12

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$5 + \sqrt{30} - \sqrt{35} + \sqrt{30} + \sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{7}) + \sqrt{7} \sqrt{5} + \sqrt{7} \sqrt{6} + \sqrt{7} (- \sqrt{7})$

Этап 2.1.13

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$5 + \sqrt{30} - \sqrt{35} + \sqrt{30} + 6 + \sqrt{6} (- \sqrt{7}) + \sqrt{7} \sqrt{5} + \sqrt{7} \sqrt{6} + \sqrt{7} (- \sqrt{7})$

Этап 2.1.14

Умножим $\sqrt{6} (- \sqrt{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.14.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$5 + \sqrt{30} - \sqrt{35} + \sqrt{30} + 6 - \sqrt{6 \cdot 7} + \sqrt{7} \sqrt{5} + \sqrt{7} \sqrt{6} + \sqrt{7} (- \sqrt{7})$

Этап 2.1.14.2

Умножим $6$ на $7$ .

$5 + \sqrt{30} - \sqrt{35} + \sqrt{30} + 6 - \sqrt{42} + \sqrt{7} \sqrt{5} + \sqrt{7} \sqrt{6} + \sqrt{7} (- \sqrt{7})$

Этап 2.1.15

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$5 + \sqrt{30} - \sqrt{35} + \sqrt{30} + 6 - \sqrt{42} + \sqrt{7 \cdot 5} + \sqrt{7} \sqrt{6} + \sqrt{7} (- \sqrt{7})$

Этап 2.1.16

Умножим $7$ на $5$ .

$5 + \sqrt{30} - \sqrt{35} + \sqrt{30} + 6 - \sqrt{42} + \sqrt{35} + \sqrt{7} \sqrt{6} + \sqrt{7} (- \sqrt{7})$

Этап 2.1.17

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$5 + \sqrt{30} - \sqrt{35} + \sqrt{30} + 6 - \sqrt{42} + \sqrt{35} + \sqrt{7 \cdot 6} + \sqrt{7} (- \sqrt{7})$

Этап 2.1.18

Умножим $7$ на $6$ .

$5 + \sqrt{30} - \sqrt{35} + \sqrt{30} + 6 - \sqrt{42} + \sqrt{35} + \sqrt{42} + \sqrt{7} (- \sqrt{7})$

Этап 2.1.19

Умножим $\sqrt{7} (- \sqrt{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.19.1

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$5 + \sqrt{30} - \sqrt{35} + \sqrt{30} + 6 - \sqrt{42} + \sqrt{35} + \sqrt{42} - ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7})$

Этап 2.1.19.2

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$5 + \sqrt{30} - \sqrt{35} + \sqrt{30} + 6 - \sqrt{42} + \sqrt{35} + \sqrt{42} - ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1})$

Этап 2.1.19.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 + \sqrt{30} - \sqrt{35} + \sqrt{30} + 6 - \sqrt{42} + \sqrt{35} + \sqrt{42} - {\sqrt{7}}^{1 + 1}$

Этап 2.1.19.4

Добавим $1$ и $1$ .

$5 + \sqrt{30} - \sqrt{35} + \sqrt{30} + 6 - \sqrt{42} + \sqrt{35} + \sqrt{42} - {\sqrt{7}}^{2}$

Этап 2.1.20

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.20.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$5 + \sqrt{30} - \sqrt{35} + \sqrt{30} + 6 - \sqrt{42} + \sqrt{35} + \sqrt{42} - {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.1.20.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 + \sqrt{30} - \sqrt{35} + \sqrt{30} + 6 - \sqrt{42} + \sqrt{35} + \sqrt{42} - 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.1.20.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$5 + \sqrt{30} - \sqrt{35} + \sqrt{30} + 6 - \sqrt{42} + \sqrt{35} + \sqrt{42} - 7^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.1.20.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.20.4.1

Сократим общий множитель.

$5 + \sqrt{30} - \sqrt{35} + \sqrt{30} + 6 - \sqrt{42} + \sqrt{35} + \sqrt{42} - 7^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.1.20.4.2

Перепишем это выражение.

$5 + \sqrt{30} - \sqrt{35} + \sqrt{30} + 6 - \sqrt{42} + \sqrt{35} + \sqrt{42} - 7^{1}$

Этап 2.1.20.5

Найдем экспоненту.

$5 + \sqrt{30} - \sqrt{35} + \sqrt{30} + 6 - \sqrt{42} + \sqrt{35} + \sqrt{42} - 1 \cdot 7$

Этап 2.1.21

Умножим $- 1$ на $7$ .

$5 + \sqrt{30} - \sqrt{35} + \sqrt{30} + 6 - \sqrt{42} + \sqrt{35} + \sqrt{42} - 7$

Этап 2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Добавим $5$ и $6$ .

$11 + \sqrt{30} - \sqrt{35} + \sqrt{30} - \sqrt{42} + \sqrt{35} + \sqrt{42} - 7$

Этап 2.2.2

Вычтем $7$ из $11$ .

$4 + \sqrt{30} - \sqrt{35} + \sqrt{30} - \sqrt{42} + \sqrt{35} + \sqrt{42}$

Этап 2.2.3

Добавим $\sqrt{30}$ и $\sqrt{30}$ .

$4 + 2 \sqrt{30} - \sqrt{35} - \sqrt{42} + \sqrt{35} + \sqrt{42}$

Этап 2.2.4

Добавим $- \sqrt{35}$ и $\sqrt{35}$ .

$4 + 2 \sqrt{30} + 0 - \sqrt{42} + \sqrt{42}$

Этап 2.2.5

Добавим $4$ и $0$ .

$4 + 2 \sqrt{30} - \sqrt{42} + \sqrt{42}$

Этап 2.2.6

Добавим $- \sqrt{42}$ и $\sqrt{42}$ .

$4 + 2 \sqrt{30} + 0$

Этап 2.2.7

Добавим $4$ и $0$ .

$4 + 2 \sqrt{30}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$4 + 2 \sqrt{30}$

Десятичная форма:

$14.95445115 \dots$