Алгебра Примеры

$| \frac{X}{X - 1} | = \frac{4}{X}$

Этап 1

Умножим обе части на $X$ .

$| \frac{X}{X - 1} | X = \frac{4}{X} X$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Изменим порядок множителей в $| \frac{X}{X - 1} | X$ .

$X | \frac{X}{X - 1} | = \frac{4}{X} X$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $X$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$X | \frac{X}{X - 1} | = \frac{4}{X} X$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$X | \frac{X}{X - 1} | = 4$

Этап 3

Решим относительно $X$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $X | \frac{X}{X - 1} | = 4$ на $X$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $X | \frac{X}{X - 1} | = 4$ на $X$ .

$\frac{X | \frac{X}{X - 1} |}{X} = \frac{4}{X}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель $X$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{X | \frac{X}{X - 1} |}{X} = \frac{4}{X}$

Этап 3.1.2.1.2

Разделим $| \frac{X}{X - 1} |$ на $1$ .

$| \frac{X}{X - 1} | = \frac{4}{X}$

Этап 3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$\frac{X}{X - 1} = \pm \frac{4}{X}$

Этап 3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\frac{X}{X - 1} = \frac{4}{X}$

Этап 3.3.2

Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй дроби. Приравняем результат к произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

$X \cdot X = (X - 1) \cdot 4$

Этап 3.3.3

Решим уравнение относительно $X$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим $X \cdot X$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + X \cdot X = (X - 1) \cdot 4$

Этап 3.3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$X \cdot X = (X - 1) \cdot 4$

Этап 3.3.3.1.3

Умножим $X$ на $X$ .

$X^{2} = (X - 1) \cdot 4$

Этап 3.3.3.2

Упростим $(X - 1) \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$X^{2} = X \cdot 4 - 1 \cdot 4$

Этап 3.3.3.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.1

Перенесем $4$ влево от $X$ .

$X^{2} = 4 \cdot X - 1 \cdot 4$

Этап 3.3.3.2.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$X^{2} = 4 X - 4$

Этап 3.3.3.3

Вычтем $4 X$ из обеих частей уравнения.

$X^{2} - 4 X = - 4$

Этап 3.3.3.4

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$X^{2} - 4 X + 4 = 0$

Этап 3.3.3.5

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$X^{2} - 4 X + 2^{2} = 0$

Этап 3.3.3.5.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 X = 2 \cdot X \cdot 2$

Этап 3.3.3.5.3

Перепишем многочлен.

$X^{2} - 2 \cdot X \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Этап 3.3.3.5.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = X$ и $b = 2$ .

${(X - 2)}^{2} = 0$

Этап 3.3.3.6

Приравняем $X - 2$ к $0$ .

$X - 2 = 0$

Этап 3.3.3.7

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$X = 2$

Этап 3.3.4

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\frac{X}{X - 1} = - \frac{4}{X}$

Этап 3.3.5

$X \cdot X = (X - 1) \cdot - 4$

Этап 3.3.6

Решим уравнение относительно $X$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Упростим $X \cdot X$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + X \cdot X = (X - 1) \cdot - 4$

Этап 3.3.6.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$X \cdot X = (X - 1) \cdot - 4$

Этап 3.3.6.1.3

Умножим $X$ на $X$ .

$X^{2} = (X - 1) \cdot - 4$

Этап 3.3.6.2

Упростим $(X - 1) \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$X^{2} = X \cdot - 4 - 1 \cdot - 4$

Этап 3.3.6.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.2.2.1

Перенесем $- 4$ влево от $X$ .

$X^{2} = - 4 \cdot X - 1 \cdot - 4$

Этап 3.3.6.2.2.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$X^{2} = - 4 X + 4$

Этап 3.3.6.3

Добавим $4 X$ к обеим частям уравнения.

$X^{2} + 4 X = 4$

Этап 3.3.6.4

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$X^{2} + 4 X - 4 = 0$

Этап 3.3.6.5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.3.6.6

Подставим значения $a = 1$ , $b = 4$ и $c = - 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $X$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.6.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.7.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$X = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.6.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$X = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.6.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$X = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.6.7.1.3

Добавим $16$ и $16$ .

$X = \frac{- 4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.6.7.1.4

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.7.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$X = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.6.7.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$X = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.6.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$X = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.6.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$X = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.3.6.7.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$X = - 2 \pm 2 \sqrt{2}$

Этап 3.3.6.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$X = - 2 + 2 \sqrt{2}, - 2 - 2 \sqrt{2}$

Этап 3.3.7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$X = 2, - 2 + 2 \sqrt{2}, - 2 - 2 \sqrt{2}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $| \frac{X}{X - 1} | = \frac{4}{X}$ истинным.

$X = 2, - 2 + 2 \sqrt{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$X = 2, - 2 + 2 \sqrt{2}$

Десятичная форма:

$X = 2, 0.82842712 \dots$