Алгебра Примеры

$2 x - 2 y = x^{2} + 9$

Этап 1

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$- 2 y = x^{2} + 9 - 2 x$

Этап 1.2

Разделим каждый член $- 2 y = x^{2} + 9 - 2 x$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $- 2 y = x^{2} + 9 - 2 x$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{x^{2}}{- 2} + \frac{9}{- 2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{x^{2}}{- 2} + \frac{9}{- 2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

Этап 1.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 2} + \frac{9}{- 2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{9}{- 2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

Этап 1.2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{9}{2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

Этап 1.2.3.1.3

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{9}{2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

Этап 1.2.3.1.3.2

Разделим $x$ на $1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{9}{2} + x$

Этап 2

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перенесем $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{9}{2}$

Этап 2.1.2

Составим полный квадрат для $- \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{9}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 1$

$c = - \frac{9}{2}$

Этап 2.1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 (- \frac{1}{2})}$

Этап 2.1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.2.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{2})}$

Этап 2.1.2.3.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{1}{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 2.1.2.3.2.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$d = - \frac{1}{\frac{2}{2}}$

Этап 2.1.2.3.2.3

Разделим $2$ на $2$ .

$d = - \frac{1}{1}$

Этап 2.1.2.3.2.4

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$d = - \frac{1}{1}$

Этап 2.1.2.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$d = - 1 \cdot 1$

Этап 2.1.2.3.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 2.1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Этап 2.1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1}{4 (- \frac{1}{2})}$

Этап 2.1.2.4.2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Этап 2.1.2.4.2.1.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1}{\frac{- 4}{2}}$

Этап 2.1.2.4.2.1.3

Разделим $- 4$ на $2$ .

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1}{- 2}$

Этап 2.1.2.4.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = - \frac{9}{2} - - \frac{1}{2}$

Этап 2.1.2.4.2.1.5

Умножим $- - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e = - \frac{9}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Этап 2.1.2.4.2.1.5.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$e = - \frac{9}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 2.1.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{- 9 + 1}{2}$

Этап 2.1.2.4.2.3

Добавим $- 9$ и $1$ .

$e = \frac{- 8}{2}$

Этап 2.1.2.4.2.4

Разделим $- 8$ на $2$ .

$e = - 4$

Этап 2.1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - 4$ .

$- \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - 4$

Этап 2.1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{2} - 4$

Этап 2.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 1$

$k = - 4$

Этап 2.3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 2.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(1, - 4)$

Этап 2.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 2.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Этап 2.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Этап 2.5.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Этап 2.5.3.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Этап 2.5.3.3

Разделим $4$ на $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Этап 2.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 2.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(1, - \frac{9}{2})$

Этап 2.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 1$

Этап 2.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 2.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{7}{2}$

Этап 2.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(1, - 4)$

Фокус: $(1, - \frac{9}{2})$

Ось симметрии: $x = 1$

Директриса: $y = - \frac{7}{2}$

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(1, - 4)$

Фокус: $(1, - \frac{9}{2})$

Ось симметрии: $x = 1$

Директриса: $y = - \frac{7}{2}$

Этап 3

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{2} - 1 - \frac{9}{2}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Избавимся от скобок.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{2} - 1 - \frac{9}{2}$

Этап 3.2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 1) = - 1 + \frac{- {(- 1)}^{2} - 9}{2}$

Этап 3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- 1) = - 1 + \frac{(- 1) {(- 1)}^{2} - 9}{2}$

Этап 3.2.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- 1) = - 1 + \frac{{(- 1)}^{1 + 2} - 9}{2}$

Этап 3.2.2.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (- 1) = - 1 + \frac{{(- 1)}^{3} - 9}{2}$

Этап 3.2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 1) = - 1 + \frac{- 1 - 9}{2}$

Этап 3.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вычтем $9$ из $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 + \frac{- 10}{2}$

Этап 3.2.3.2

Разделим $- 10$ на $2$ .

$f (- 1) = - 1 - 5$

Этап 3.2.3.3

Вычтем $5$ из $- 1$ .

$f (- 1) = - 6$

Этап 3.2.4

Окончательный ответ: $- 6$ .

$- 6$

Этап 3.3

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $- 6$ .

$y = - 6$

Этап 3.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 0 - \frac{9}{2}$

Этап 3.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Избавимся от скобок.

$f (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 0 - \frac{9}{2}$

Этап 3.5.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (0) = \frac{- {(0)}^{2} - 9}{2}$

Этап 3.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{- 0 - 9}{2}$

Этап 3.5.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = \frac{0 - 9}{2}$

Этап 3.5.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Вычтем $9$ из $0$ .

$f (0) = \frac{- 9}{2}$

Этап 3.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (0) = - \frac{9}{2}$

Этап 3.5.4

Окончательный ответ: $- \frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{2}$

Этап 3.6

Значение $y$ при $x = 0$ равно $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{9}{2}$

Этап 3.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = - \frac{{(3)}^{2}}{2} + 3 - \frac{9}{2}$

Этап 3.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Избавимся от скобок.

$f (3) = - \frac{{(3)}^{2}}{2} + 3 - \frac{9}{2}$

Этап 3.8.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (3) = 3 + \frac{- {(3)}^{2} - 9}{2}$

Этап 3.8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = 3 + \frac{- 1 \cdot 9 - 9}{2}$

Этап 3.8.2.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f (3) = 3 + \frac{- 9 - 9}{2}$

Этап 3.8.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Вычтем $9$ из $- 9$ .

$f (3) = 3 + \frac{- 18}{2}$

Этап 3.8.3.2

Разделим $- 18$ на $2$ .

$f (3) = 3 - 9$

Этап 3.8.3.3

Вычтем $9$ из $3$ .

$f (3) = - 6$

Этап 3.8.4

Окончательный ответ: $- 6$ .

$- 6$

Этап 3.9

Значение $y$ при $x = 3$ равно $- 6$ .

$y = - 6$

Этап 3.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{2} + 2 - \frac{9}{2}$

Этап 3.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1.1

Избавимся от скобок.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{2} + 2 - \frac{9}{2}$

Этап 3.11.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (2) = 2 + \frac{- {(2)}^{2} - 9}{2}$

Этап 3.11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = 2 + \frac{- 1 \cdot 4 - 9}{2}$

Этап 3.11.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (2) = 2 + \frac{- 4 - 9}{2}$

Этап 3.11.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.1

Вычтем $9$ из $- 4$ .

$f (2) = 2 + \frac{- 13}{2}$

Этап 3.11.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (2) = 2 - \frac{13}{2}$

Этап 3.11.4

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{13}{2}$

Этап 3.11.5

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{13}{2}$

Этап 3.11.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (2) = \frac{2 \cdot 2 - 13}{2}$

Этап 3.11.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.7.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 13}{2}$

Этап 3.11.7.2

Вычтем $13$ из $4$ .

$f (2) = \frac{- 9}{2}$

Этап 3.11.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (2) = - \frac{9}{2}$

Этап 3.11.9

Окончательный ответ: $- \frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{2}$

Этап 3.12

Значение $y$ при $x = 2$ равно $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{9}{2}$

Этап 3.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 6 \\ 0 & - \frac{9}{2} \\ 1 & - 4 \\ 2 & - \frac{9}{2} \\ 3 & - 6 \end{array}$

Этап 4

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(1, - 4)$

Фокус: $(1, - \frac{9}{2})$

Ось симметрии: $x = 1$

Директриса: $y = - \frac{7}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 6 \\ 0 & - \frac{9}{2} \\ 1 & - 4 \\ 2 & - \frac{9}{2} \\ 3 & - 6 \end{array}$

Этап 5