Алгебра Примеры

$\frac{5 x - 4}{2 x + 1} > 1$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$\frac{5 x - 4}{2 x + 1} - 1 > 0$

Этап 2

Упростим $\frac{5 x - 4}{2 x + 1} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{5 x - 4}{2 x + 1} - 1 \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1} > 0$

Этап 2.2

Объединим $- 1$ и $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{5 x - 4}{2 x + 1} + \frac{- (2 x + 1)}{2 x + 1} > 0$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 x - 4 - (2 x + 1)}{2 x + 1} > 0$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x - 4 - (2 x) - 1 \cdot 1}{2 x + 1} > 0$

Этап 2.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{5 x - 4 - 2 x - 1 \cdot 1}{2 x + 1} > 0$

Этап 2.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{5 x - 4 - 2 x - 1}{2 x + 1} > 0$

Этап 2.4.4

Вычтем $2 x$ из $5 x$ .

$\frac{3 x - 4 - 1}{2 x + 1} > 0$

Этап 2.4.5

Вычтем $1$ из $- 4$ .

$\frac{3 x - 5}{2 x + 1} > 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$3 x - 5 = 0$

$2 x + 1 = 0$

Этап 4

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 5$

Этап 5

Разделим каждый член $3 x = 5$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $3 x = 5$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Этап 6

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 7

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = \frac{5}{3}$

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 9

Объединим решения.

$x = \frac{5}{3}, - \frac{1}{2}$

Этап 10

Найдем область определения $\frac{3 x - 5}{2 x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Зададим знаменатель в $\frac{3 x - 5}{2 x + 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x + 1 = 0$

Этап 10.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 10.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 10.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < \frac{5}{3}$

$x > \frac{5}{3}$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$\frac{5 (- 3) - 4}{2 (- 3) + 1} > 1$

Этап 12.1.3

Левая часть $3.8$ больше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $- \frac{1}{2} < x < \frac{5}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{1}{2} < x < \frac{5}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{5 (0) - 4}{2 (0) + 1} > 1$

Этап 12.2.3

Левая часть $- 4$ не больше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{5}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{5}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 12.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{5 (4) - 4}{2 (4) + 1} > 1$

Этап 12.3.3

Левая часть $1.\overline{7}$ больше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 12.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{1}{2}$ Истина

$- \frac{1}{2} < x < \frac{5}{3}$ Ложь

$x > \frac{5}{3}$ Истина

$x < - \frac{1}{2}$ Истина

$- \frac{1}{2} < x < \frac{5}{3}$ Ложь

$x > \frac{5}{3}$ Истина

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - \frac{1}{2}$ или $x > \frac{5}{3}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - \frac{1}{2} or x > \frac{5}{3}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (\frac{5}{3}, \infty)$

Этап 15