Алгебра Примеры

$\sqrt{1 - 5 x} = 1 + \sqrt{6 - x}$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{1 - 5 x}}^{2} = {(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - 5 x}$ в виде ${(1 - 5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - 5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(1 - 5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(1 - 5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - 5 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(1 - 5 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(1 - 5 x)}^{1} = {(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$1 - 5 x = {(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$ в виде $(1 + \sqrt{6 - x}) (1 + \sqrt{6 - x})$ .

$1 - 5 x = (1 + \sqrt{6 - x}) (1 + \sqrt{6 - x})$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(1 + \sqrt{6 - x}) (1 + \sqrt{6 - x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - 5 x = 1 (1 + \sqrt{6 - x}) + \sqrt{6 - x} (1 + \sqrt{6 - x})$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - 5 x = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} (1 + \sqrt{6 - x})$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - 5 x = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} \cdot 1 + \sqrt{6 - x} \sqrt{6 - x}$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 - 5 x = 1 + 1 \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} \cdot 1 + \sqrt{6 - x} \sqrt{6 - x}$

Этап 2.3.1.3.1.2

Умножим $\sqrt{6 - x}$ на $1$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} \cdot 1 + \sqrt{6 - x} \sqrt{6 - x}$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $\sqrt{6 - x}$ на $1$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} \sqrt{6 - x}$

Этап 2.3.1.3.1.4

Умножим $\sqrt{6 - x} \sqrt{6 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.4.1

Возведем $\sqrt{6 - x}$ в степень $1$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {\sqrt{6 - x}}^{1} \sqrt{6 - x}$

Этап 2.3.1.3.1.4.2

Возведем $\sqrt{6 - x}$ в степень $1$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {\sqrt{6 - x}}^{1} {\sqrt{6 - x}}^{1}$

Этап 2.3.1.3.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {\sqrt{6 - x}}^{1 + 1}$

Этап 2.3.1.3.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {\sqrt{6 - x}}^{2}$

Этап 2.3.1.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{6 - x}}^{2}$ в виде $6 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 - x}$ в виде ${(6 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {({(6 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.3.1.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {(6 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.3.1.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {(6 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {(6 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {(6 - x)}^{1}$

Этап 2.3.1.3.1.5.5

Упростим.

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + 6 - x$

Этап 2.3.1.3.2

Добавим $1$ и $6$ .

$1 - 5 x = 7 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} - x$

Этап 2.3.1.3.3

Добавим $\sqrt{6 - x}$ и $\sqrt{6 - x}$ .

$1 - 5 x = 7 + 2 \sqrt{6 - x} - x$

Этап 3

Решим относительно $2 \sqrt{6 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $7 + 2 \sqrt{6 - x} - x = 1 - 5 x$ .

$7 + 2 \sqrt{6 - x} - x = 1 - 5 x$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $2 \sqrt{6 - x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$2 \sqrt{6 - x} - x = 1 - 5 x - 7$

Этап 3.2.2

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$2 \sqrt{6 - x} = 1 - 5 x - 7 + x$

Этап 3.2.3

Вычтем $7$ из $1$ .

$2 \sqrt{6 - x} = - 5 x - 6 + x$

Этап 3.2.4

Добавим $- 5 x$ и $x$ .

$2 \sqrt{6 - x} = - 4 x - 6$

Этап 4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{6 - x})}^{2} = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Этап 5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 - x}$ в виде ${(6 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим ${(2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(6 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(6 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(6 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(6 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(6 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(6 - x)}^{1} = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.4

Упростим.

$4 (6 - x) = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cdot 6 + 4 (- x) = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.6.1

Умножим $4$ на $6$ .

$24 + 4 (- x) = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.6.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$24 - 4 x = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим ${(- 4 x - 6)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Перепишем ${(- 4 x - 6)}^{2}$ в виде $(- 4 x - 6) (- 4 x - 6)$ .

$24 - 4 x = (- 4 x - 6) (- 4 x - 6)$

Этап 5.3.1.2

Развернем $(- 4 x - 6) (- 4 x - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$24 - 4 x = - 4 x (- 4 x - 6) - 6 (- 4 x - 6)$

Этап 5.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$24 - 4 x = - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot - 6 - 6 (- 4 x - 6)$

Этап 5.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$24 - 4 x = - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot - 6 - 6 (- 4 x) - 6 \cdot - 6$

Этап 5.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$24 - 4 x = - 4 \cdot - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 6 - 6 (- 4 x) - 6 \cdot - 6$

Этап 5.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$24 - 4 x = - 4 \cdot - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 6 - 6 (- 4 x) - 6 \cdot - 6$

Этап 5.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$24 - 4 x = - 4 \cdot - 4 x^{2} - 4 x \cdot - 6 - 6 (- 4 x) - 6 \cdot - 6$

Этап 5.3.1.3.1.3

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$24 - 4 x = 16 x^{2} - 4 x \cdot - 6 - 6 (- 4 x) - 6 \cdot - 6$

Этап 5.3.1.3.1.4

Умножим $- 6$ на $- 4$ .

$24 - 4 x = 16 x^{2} + 24 x - 6 (- 4 x) - 6 \cdot - 6$

Этап 5.3.1.3.1.5

Умножим $- 4$ на $- 6$ .

$24 - 4 x = 16 x^{2} + 24 x + 24 x - 6 \cdot - 6$

Этап 5.3.1.3.1.6

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$24 - 4 x = 16 x^{2} + 24 x + 24 x + 36$

Этап 5.3.1.3.2

Добавим $24 x$ и $24 x$ .

$24 - 4 x = 16 x^{2} + 48 x + 36$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$16 x^{2} + 48 x + 36 = 24 - 4 x$

Этап 6.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $4 x$ к обеим частям уравнения.

$16 x^{2} + 48 x + 36 + 4 x = 24$

Этап 6.2.2

Добавим $48 x$ и $4 x$ .

$16 x^{2} + 52 x + 36 = 24$

Этап 6.3

Вычтем $24$ из обеих частей уравнения.

$16 x^{2} + 52 x + 36 - 24 = 0$

Этап 6.4

Вычтем $24$ из $36$ .

$16 x^{2} + 52 x + 12 = 0$

Этап 6.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вынесем множитель $4$ из $16 x^{2} + 52 x + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Вынесем множитель $4$ из $16 x^{2}$ .

$4 (4 x^{2}) + 52 x + 12 = 0$

Этап 6.5.1.2

Вынесем множитель $4$ из $52 x$ .

$4 (4 x^{2}) + 4 (13 x) + 12 = 0$

Этап 6.5.1.3

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$4 (4 x^{2}) + 4 (13 x) + 4 (3) = 0$

Этап 6.5.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (4 x^{2}) + 4 (13 x)$ .

$4 (4 x^{2} + 13 x) + 4 (3) = 0$

Этап 6.5.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (4 x^{2} + 13 x) + 4 (3)$ .

$4 (4 x^{2} + 13 x + 3) = 0$

Этап 6.5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ , а сумма — $b = 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1.1

Вынесем множитель $13$ из $13 x$ .

$4 (4 x^{2} + 13 (x) + 3) = 0$

Этап 6.5.2.1.1.2

Запишем $13$ как $1$ плюс $12$

$4 (4 x^{2} + (1 + 12) x + 3) = 0$

Этап 6.5.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (4 x^{2} + 1 x + 12 x + 3) = 0$

Этап 6.5.2.1.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$4 (4 x^{2} + x + 12 x + 3) = 0$

Этап 6.5.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$4 ((4 x^{2} + x) + 12 x + 3) = 0$

Этап 6.5.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$4 (x (4 x + 1) + 3 (4 x + 1)) = 0$

Этап 6.5.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x + 1$ .

$4 ((4 x + 1) (x + 3)) = 0$

Этап 6.5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (4 x + 1) (x + 3) = 0$

Этап 6.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 6.7

Приравняем $4 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Приравняем $4 x + 1$ к $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Этап 6.7.2

Решим $4 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - 1$

Этап 6.7.2.2

Разделим каждый член $4 x = - 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = - 1$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 6.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 6.7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Этап 6.7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{4}$

Этап 6.8

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 6.8.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 6.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (4 x + 1) (x + 3) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{4}, - 3$

Этап 7

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{1 - 5 x} = 1 + \sqrt{6 - x}$ истинным.

$x = - 3$