Алгебра Примеры

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x - 1$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$x^{4} - 1 + 2 x^{3} - 2 x$

Этап 2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 1 + 2 x^{3} - 2 x$

Этап 3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 1^{2} + 2 x^{3} - 2 x$

Этап 4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = 1$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1) + 2 x^{3} - 2 x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}) + 2 x^{3} - 2 x$

Этап 5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 x^{3} - 2 x$

Этап 5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x^{3} - 2 x$

Этап 6

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3}$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x (x^{2}) - 2 x$

Этап 6.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x (x^{2}) + 2 x (- 1)$

Этап 6.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{2}) + 2 x (- 1)$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x (x^{2} - 1)$

Этап 7

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x (x^{2} - 1^{2})$

Этап 8

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x ((x + 1) (x - 1))$

Этап 8.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x (x + 1) (x - 1)$

Этап 9

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 1)$ из $(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x (x + 1) (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 1)$ из $(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1) + 2 x (x + 1) (x - 1)$

Этап 9.2

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 1)$ из $2 x (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1) + (x + 1) (x - 1) (2 x)$

Этап 9.3

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 1)$ из $(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1) + (x + 1) (x - 1) (2 x)$ .

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1 + 2 x)$

Этап 10

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Переставляем члены.

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 2 x + 1)$

Этап 10.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 2 x + 1^{2})$

Этап 10.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 10.4

Перепишем многочлен.

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})$

Этап 10.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(x + 1) (x - 1) {(x + 1)}^{2}$

Этап 11

Умножим $x + 1$ на ${(x + 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перенесем ${(x + 1)}^{2}$ .

${(x + 1)}^{2} (x + 1) (x - 1)$

Этап 11.2

Умножим ${(x + 1)}^{2}$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

${(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{1} (x - 1)$

Этап 11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(x + 1)}^{2 + 1} (x - 1)$

Этап 11.3

Добавим $2$ и $1$ .

${(x + 1)}^{3} (x - 1)$