Алгебра Примеры

$\sqrt{x + 15} = 5 + \sqrt{x}$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x + 15}}^{2} = {(5 + \sqrt{x})}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 15}$ в виде ${(x + 15)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 + \sqrt{x})}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(x + 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 15)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 + \sqrt{x})}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 15)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 + \sqrt{x})}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 15)}^{1} = {(5 + \sqrt{x})}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$x + 15 = {(5 + \sqrt{x})}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(5 + \sqrt{x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(5 + \sqrt{x})}^{2}$ в виде $(5 + \sqrt{x}) (5 + \sqrt{x})$ .

$x + 15 = (5 + \sqrt{x}) (5 + \sqrt{x})$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(5 + \sqrt{x}) (5 + \sqrt{x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 15 = 5 (5 + \sqrt{x}) + \sqrt{x} (5 + \sqrt{x})$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 15 = 5 \cdot 5 + 5 \sqrt{x} + \sqrt{x} (5 + \sqrt{x})$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 15 = 5 \cdot 5 + 5 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 5 + \sqrt{x} \sqrt{x}$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $5$ на $5$ .

$x + 15 = 25 + 5 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 5 + \sqrt{x} \sqrt{x}$

Этап 2.3.1.3.1.2

Перенесем $5$ влево от $\sqrt{x}$ .

$x + 15 = 25 + 5 \sqrt{x} + 5 \cdot \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x}$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.3.1

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$x + 15 = 25 + 5 \sqrt{x} + 5 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}$

Этап 2.3.1.3.1.3.2

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$x + 15 = 25 + 5 \sqrt{x} + 5 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}$

Этап 2.3.1.3.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x + 15 = 25 + 5 \sqrt{x} + 5 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1 + 1}$

Этап 2.3.1.3.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$x + 15 = 25 + 5 \sqrt{x} + 5 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{2}$

Этап 2.3.1.3.1.4

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x + 15 = 25 + 5 \sqrt{x} + 5 \sqrt{x} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.3.1.3.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 15 = 25 + 5 \sqrt{x} + 5 \sqrt{x} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.3.1.3.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x + 15 = 25 + 5 \sqrt{x} + 5 \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.3.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$x + 15 = 25 + 5 \sqrt{x} + 5 \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.3.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$x + 15 = 25 + 5 \sqrt{x} + 5 \sqrt{x} + x^{1}$

Этап 2.3.1.3.1.4.5

Упростим.

$x + 15 = 25 + 5 \sqrt{x} + 5 \sqrt{x} + x$

Этап 2.3.1.3.2

Добавим $5 \sqrt{x}$ и $5 \sqrt{x}$ .

$x + 15 = 25 + 10 \sqrt{x} + x$

Этап 3

Решим относительно $10 \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $25 + 10 \sqrt{x} + x = x + 15$ .

$25 + 10 \sqrt{x} + x = x + 15$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $10 \sqrt{x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$10 \sqrt{x} + x = x + 15 - 25$

Этап 3.2.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$10 \sqrt{x} = x + 15 - 25 - x$

Этап 3.2.3

Объединим противоположные члены в $x + 15 - 25 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$10 \sqrt{x} = 0 + 15 - 25$

Этап 3.2.3.2

Добавим $0$ и $15$ .

$10 \sqrt{x} = 15 - 25$

Этап 3.2.4

Вычтем $25$ из $15$ .

$10 \sqrt{x} = - 10$

Этап 4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(10 \sqrt{x})}^{2} = {(- 10)}^{2}$

Этап 5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(10 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 10)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим ${(10 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило умножения к $10 x^{\frac{1}{2}}$ .

$10^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 10)}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Возведем $10$ в степень $2$ .

$100 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 10)}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$100 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 10)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$100 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 10)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$100 x^{1} = {(- 10)}^{2}$

Этап 5.2.1.4

Упростим.

$100 x = {(- 10)}^{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$100 x = 100$

Этап 6

Разделим каждый член $100 x = 100$ на $100$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $100 x = 100$ на $100$ .

$\frac{100 x}{100} = \frac{100}{100}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{100 x}{100} = \frac{100}{100}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{100}{100}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим $100$ на $100$ .

$x = 1$

Этап 7

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{x + 15} = 5 + \sqrt{x}$ истинным.

$Нет решения$