Алгебра Примеры

$24 e^{2 x} - 6 = 10 e^{x}$

Этап 1

Вычтем $10 e^{x}$ из обеих частей уравнения.

$24 e^{2 x} - 6 - 10 e^{x} = 0$

Этап 2

Перепишем $e^{2 x}$ в виде степенного выражения.

$24 {(e^{x})}^{2} - 6 - 10 e^{x} = 0$

Этап 3

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$24 u^{2} - 6 - 10 u = 0$

Этап 4

Перенесем $- 6$ .

$24 u^{2} - 10 u - 6 = 0$

Этап 5

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $24 u^{2} - 10 u - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $24 u^{2}$ .

$2 (12 u^{2}) - 10 u - 6 = 0$

Этап 5.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 10 u$ .

$2 (12 u^{2}) + 2 (- 5 u) - 6 = 0$

Этап 5.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$2 (12 u^{2}) + 2 (- 5 u) + 2 (- 3) = 0$

Этап 5.1.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (12 u^{2}) + 2 (- 5 u)$ .

$2 (12 u^{2} - 5 u) + 2 (- 3) = 0$

Этап 5.1.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (12 u^{2} - 5 u) + 2 (- 3)$ .

$2 (12 u^{2} - 5 u - 3) = 0$

Этап 5.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 12 \cdot - 3 = - 36$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 u$ .

$2 (12 u^{2} - 5 u - 3) = 0$

Этап 5.1.2.1.1.2

Запишем $- 5$ как $4$ плюс $- 9$

$2 (12 u^{2} + (4 - 9) u - 3) = 0$

Этап 5.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (12 u^{2} + 4 u - 9 u - 3) = 0$

Этап 5.1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 ((12 u^{2} + 4 u) - 9 u - 3) = 0$

Этап 5.1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 (4 u (3 u + 1) - 3 (3 u + 1)) = 0$

Этап 5.1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 u + 1$ .

$2 ((3 u + 1) (4 u - 3)) = 0$

Этап 5.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (3 u + 1) (4 u - 3) = 0$

Этап 5.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 u + 1 = 0$

$4 u - 3 = 0$

Этап 5.3

Приравняем $3 u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Приравняем $3 u + 1$ к $0$ .

$3 u + 1 = 0$

Этап 5.3.2

Решим $3 u + 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 u = - 1$

Этап 5.3.2.2

Разделим каждый член $3 u = - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Разделим каждый член $3 u = - 1$ на $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 5.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 5.3.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- 1}{3}$

Этап 5.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{1}{3}$

Этап 5.4

Приравняем $4 u - 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $4 u - 3$ к $0$ .

$4 u - 3 = 0$

Этап 5.4.2

Решим $4 u - 3 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$4 u = 3$

Этап 5.4.2.2

Разделим каждый член $4 u = 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Разделим каждый член $4 u = 3$ на $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 5.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 u}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 5.4.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{3}{4}$

Этап 5.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (3 u + 1) (4 u - 3) = 0$ верно.

$u = - \frac{1}{3}, \frac{3}{4}$

Этап 6

Подставим $- \frac{1}{3}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$- \frac{1}{3} = e^{x}$

Этап 7

Решим $- \frac{1}{3} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = - \frac{1}{3}$ .

$e^{x} = - \frac{1}{3}$

Этап 7.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{1}{3})$

Этап 7.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- \frac{1}{3})$ не определено.

Неопределенные

Этап 7.4

Нет решения для $e^{x} = - \frac{1}{3}$

Нет решения

Этап 8

Подставим $\frac{3}{4}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$\frac{3}{4} = e^{x}$

Этап 9

Решим $\frac{3}{4} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = \frac{3}{4}$ .

$e^{x} = \frac{3}{4}$

Этап 9.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3}{4})$

Этап 9.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (\frac{3}{4})$

Этап 9.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3}{4})$

Этап 9.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (\frac{3}{4})$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \ln (\frac{3}{4})$

Десятичная форма:

$x = - 0.28768207 \dots$