Алгебра Примеры

$x - \sqrt{169 - x^{2}} = 17$

Этап 1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- \sqrt{169 - x^{2}} = 17 - x$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- \sqrt{169 - x^{2}})}^{2} = {(17 - x)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{169 - x^{2}}$ в виде ${(169 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(169 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(17 - x)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(- {(169 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $- {(169 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(169 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(17 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {({(169 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(17 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.3

Умножим ${({(169 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ на $1$ .

${({(169 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(17 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${({(169 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(169 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(17 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

${(169 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(17 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

${(169 - x^{2})}^{1} = {(17 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.5

Упростим.

$169 - x^{2} = {(17 - x)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(17 - x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(17 - x)}^{2}$ в виде $(17 - x) (17 - x)$ .

$169 - x^{2} = (17 - x) (17 - x)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(17 - x) (17 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$169 - x^{2} = 17 (17 - x) - x (17 - x)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$169 - x^{2} = 17 \cdot 17 + 17 (- x) - x (17 - x)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$169 - x^{2} = 17 \cdot 17 + 17 (- x) - x \cdot 17 - x (- x)$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $17$ на $17$ .

$169 - x^{2} = 289 + 17 (- x) - x \cdot 17 - x (- x)$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $17$ .

$169 - x^{2} = 289 - 17 x - x \cdot 17 - x (- x)$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $17$ на $- 1$ .

$169 - x^{2} = 289 - 17 x - 17 x - x (- x)$

Этап 3.3.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$169 - x^{2} = 289 - 17 x - 17 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$169 - x^{2} = 289 - 17 x - 17 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Этап 3.3.1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$169 - x^{2} = 289 - 17 x - 17 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$169 - x^{2} = 289 - 17 x - 17 x + 1 x^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$169 - x^{2} = 289 - 17 x - 17 x + x^{2}$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $17 x$ из $- 17 x$ .

$169 - x^{2} = 289 - 34 x + x^{2}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$289 - 34 x + x^{2} = 169 - x^{2}$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$289 - 34 x + x^{2} + x^{2} = 169$

Этап 4.2.2

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$289 - 34 x + 2 x^{2} = 169$

Этап 4.3

Вычтем $169$ из обеих частей уравнения.

$289 - 34 x + 2 x^{2} - 169 = 0$

Этап 4.4

Вычтем $169$ из $289$ .

$- 34 x + 2 x^{2} + 120 = 0$

Этап 4.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 34 x + 2 x^{2} + 120$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 34 x$ .

$2 (- 17 x) + 2 x^{2} + 120 = 0$

Этап 4.5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$2 (- 17 x) + 2 (x^{2}) + 120 = 0$

Этап 4.5.1.3

Вынесем множитель $2$ из $120$ .

$2 (- 17 x) + 2 x^{2} + 2 \cdot 60 = 0$

Этап 4.5.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 17 x) + 2 x^{2}$ .

$2 (- 17 x + x^{2}) + 2 \cdot 60 = 0$

Этап 4.5.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 17 x + x^{2}) + 2 \cdot 60$ .

$2 (- 17 x + x^{2} + 60) = 0$

Этап 4.5.2

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$2 (- 17 u + u^{2} + 60) = 0$

Этап 4.5.3

Разложим $- 17 u + u^{2} + 60$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $60$ , а сумма — $- 17$ .

$- 12, - 5$

Этап 4.5.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$2 ((u - 12) (u - 5)) = 0$

Этап 4.5.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$2 ((x - 12) (x - 5)) = 0$

Этап 4.5.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (x - 12) (x - 5) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 12 = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $x - 12$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x - 12$ к $0$ .

$x - 12 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$x = 12$

Этап 4.8

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 4.8.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (x - 12) (x - 5) = 0$ верно.

$x = 12, 5$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $x - \sqrt{169 - x^{2}} = 17$ истинным.

$Нет решения$