Алгебра Примеры

$\sqrt{5 x + 1} = 1 + 3 \sqrt{x}$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{5 x + 1}}^{2} = {(1 + 3 \sqrt{x})}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 x + 1}$ в виде ${(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + 3 \sqrt{x})}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + 3 \sqrt{x})}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + 3 \sqrt{x})}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(5 x + 1)}^{1} = {(1 + 3 \sqrt{x})}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$5 x + 1 = {(1 + 3 \sqrt{x})}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(1 + 3 \sqrt{x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(1 + 3 \sqrt{x})}^{2}$ в виде $(1 + 3 \sqrt{x}) (1 + 3 \sqrt{x})$ .

$5 x + 1 = (1 + 3 \sqrt{x}) (1 + 3 \sqrt{x})$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(1 + 3 \sqrt{x}) (1 + 3 \sqrt{x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x + 1 = 1 (1 + 3 \sqrt{x}) + 3 \sqrt{x} (1 + 3 \sqrt{x})$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 (3 \sqrt{x}) + 3 \sqrt{x} (1 + 3 \sqrt{x})$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 (3 \sqrt{x}) + 3 \sqrt{x} \cdot 1 + 3 \sqrt{x} (3 \sqrt{x})$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$5 x + 1 = 1 + 1 (3 \sqrt{x}) + 3 \sqrt{x} \cdot 1 + 3 \sqrt{x} (3 \sqrt{x})$

Этап 2.3.1.3.1.2

Умножим $3 \sqrt{x}$ на $1$ .

$5 x + 1 = 1 + 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} \cdot 1 + 3 \sqrt{x} (3 \sqrt{x})$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $3$ на $1$ .

$5 x + 1 = 1 + 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} (3 \sqrt{x})$

Этап 2.3.1.3.1.4

Умножим $3 \sqrt{x} (3 \sqrt{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.4.1

Умножим $3$ на $3$ .

$5 x + 1 = 1 + 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} \sqrt{x}$

Этап 2.3.1.3.1.4.2

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$5 x + 1 = 1 + 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} + 9 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})$

Этап 2.3.1.3.1.4.3

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$5 x + 1 = 1 + 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} + 9 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})$

Этап 2.3.1.3.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x + 1 = 1 + 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} + 9 {\sqrt{x}}^{1 + 1}$

Этап 2.3.1.3.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$5 x + 1 = 1 + 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} + 9 {\sqrt{x}}^{2}$

Этап 2.3.1.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 x + 1 = 1 + 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} + 9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.3.1.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 x + 1 = 1 + 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} + 9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.3.1.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$5 x + 1 = 1 + 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} + 9 x^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$5 x + 1 = 1 + 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} + 9 x^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$5 x + 1 = 1 + 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} + 9 x^{1}$

Этап 2.3.1.3.1.5.5

Упростим.

$5 x + 1 = 1 + 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} + 9 x$

Этап 2.3.1.3.2

Добавим $3 \sqrt{x}$ и $3 \sqrt{x}$ .

$5 x + 1 = 1 + 6 \sqrt{x} + 9 x$

Этап 3

Решим относительно $6 \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $1 + 6 \sqrt{x} + 9 x = 5 x + 1$ .

$1 + 6 \sqrt{x} + 9 x = 5 x + 1$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $6 \sqrt{x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$6 \sqrt{x} + 9 x = 5 x + 1 - 1$

Этап 3.2.2

Вычтем $9 x$ из обеих частей уравнения.

$6 \sqrt{x} = 5 x + 1 - 1 - 9 x$

Этап 3.2.3

Объединим противоположные члены в $5 x + 1 - 1 - 9 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$6 \sqrt{x} = 5 x + 0 - 9 x$

Этап 3.2.3.2

Добавим $5 x$ и $0$ .

$6 \sqrt{x} = 5 x - 9 x$

Этап 3.2.4

Вычтем $9 x$ из $5 x$ .

$6 \sqrt{x} = - 4 x$

Этап 4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(6 \sqrt{x})}^{2} = {(- 4 x)}^{2}$

Этап 5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 x)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим ${(6 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило умножения к $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$6^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$36 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$36 x^{1} = {(- 4 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.4

Упростим.

$36 x = {(- 4 x)}^{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим ${(- 4 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Применим правило умножения к $- 4 x$ .

$36 x = {(- 4)}^{2} x^{2}$

Этап 5.3.1.2

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$36 x = 16 x^{2}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $16 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$36 x - 16 x^{2} = 0$

Этап 6.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$36 u - 16 u^{2} = 0$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $4 u$ из $36 u - 16 u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вынесем множитель $4 u$ из $36 u$ .

$4 u (9) - 16 u^{2} = 0$

Этап 6.2.2.2

Вынесем множитель $4 u$ из $- 16 u^{2}$ .

$4 u (9) + 4 u (- 4 u) = 0$

Этап 6.2.2.3

Вынесем множитель $4 u$ из $4 u (9) + 4 u (- 4 u)$ .

$4 u (9 - 4 u) = 0$

Этап 6.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$4 x (9 - 4 x) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$9 - 4 x = 0$

Этап 6.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 6.5

Приравняем $9 - 4 x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $9 - 4 x$ к $0$ .

$9 - 4 x = 0$

Этап 6.5.2

Решим $9 - 4 x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x = - 9$

Этап 6.5.2.2

Разделим каждый член $- 4 x = - 9$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Разделим каждый член $- 4 x = - 9$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 9}{- 4}$

Этап 6.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 9}{- 4}$

Этап 6.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 9}{- 4}$

Этап 6.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{9}{4}$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x (9 - 4 x) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{9}{4}$

Этап 7

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{5 x + 1} = 1 + 3 \sqrt{x}$ истинным.

$x = 0$