Алгебра Примеры

$\frac{\cos (A) + \cos (B)}{\sin (A) - \sin (B)} + \frac{\sin (A) + \sin (B)}{\cos (A) - \cos (B)}$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{\cos (A) + \cos (B)}{\sin (A) - \sin (B)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (A) - \cos (B)}{\cos (A) - \cos (B)}$ .

$\frac{\cos (A) + \cos (B)}{\sin (A) - \sin (B)} \cdot \frac{\cos (A) - \cos (B)}{\cos (A) - \cos (B)} + \frac{\sin (A) + \sin (B)}{\cos (A) - \cos (B)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{\sin (A) + \sin (B)}{\cos (A) - \cos (B)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (A) - \sin (B)}{\sin (A) - \sin (B)}$ .

$\frac{\cos (A) + \cos (B)}{\sin (A) - \sin (B)} \cdot \frac{\cos (A) - \cos (B)}{\cos (A) - \cos (B)} + \frac{\sin (A) + \sin (B)}{\cos (A) - \cos (B)} \cdot \frac{\sin (A) - \sin (B)}{\sin (A) - \sin (B)}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(\sin (A) - \sin (B)) (\cos (A) - \cos (B))$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{\cos (A) + \cos (B)}{\sin (A) - \sin (B)}$ на $\frac{\cos (A) - \cos (B)}{\cos (A) - \cos (B)}$ .

$\frac{(\cos (A) + \cos (B)) (\cos (A) - \cos (B))}{(\sin (A) - \sin (B)) (\cos (A) - \cos (B))} + \frac{\sin (A) + \sin (B)}{\cos (A) - \cos (B)} \cdot \frac{\sin (A) - \sin (B)}{\sin (A) - \sin (B)}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{\sin (A) + \sin (B)}{\cos (A) - \cos (B)}$ на $\frac{\sin (A) - \sin (B)}{\sin (A) - \sin (B)}$ .

$\frac{(\cos (A) + \cos (B)) (\cos (A) - \cos (B))}{(\sin (A) - \sin (B)) (\cos (A) - \cos (B))} + \frac{(\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $(\sin (A) - \sin (B)) (\cos (A) - \cos (B))$ .

$\frac{(\cos (A) + \cos (B)) (\cos (A) - \cos (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))} + \frac{(\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(\cos (A) + \cos (B)) (\cos (A) - \cos (B)) + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Развернем $(\cos (A) + \cos (B)) (\cos (A) - \cos (B))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (A) (\cos (A) - \cos (B)) + \cos (B) (\cos (A) - \cos (B)) + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (A) \cos (A) + \cos (A) (- \cos (B)) + \cos (B) (\cos (A) - \cos (B)) + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (A) \cos (A) + \cos (A) (- \cos (B)) + \cos (B) \cos (A) + \cos (B) (- \cos (B)) + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.2

Объединим противоположные члены в $\cos (A) \cos (A) + \cos (A) (- \cos (B)) + \cos (B) \cos (A) + \cos (B) (- \cos (B))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Изменим порядок множителей в членах $\cos (A) (- \cos (B))$ и $\cos (B) \cos (A)$ .

$\frac{\cos (A) \cos (A) - \cos (A) \cos (B) + \cos (A) \cos (B) + \cos (B) (- \cos (B)) + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.2.2

Добавим $- \cos (A) \cos (B)$ и $\cos (A) \cos (B)$ .

$\frac{\cos (A) \cos (A) + 0 + \cos (B) (- \cos (B)) + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.2.3

Добавим $\cos (A) \cos (A)$ и $0$ .

$\frac{\cos (A) \cos (A) + \cos (B) (- \cos (B)) + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $\cos (A) \cos (A)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Возведем $\cos (A)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (A) \cos (A) + \cos (B) (- \cos (B)) + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.3.1.2

Возведем $\cos (A)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (A) \cos^{1} (A) + \cos (B) (- \cos (B)) + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.3.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\cos (A)}^{1 + 1} + \cos (B) (- \cos (B)) + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.3.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) + \cos (B) (- \cos (B)) + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos (B) \cos (B) + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.3.3

Умножим $- \cos (B) \cos (B)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Возведем $\cos (B)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - (\cos^{1} (B) \cos (B)) + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.3.3.2

Возведем $\cos (B)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - (\cos^{1} (B) \cos^{1} (B)) + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.3.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos^{2} (A) - {\cos (B)}^{1 + 1} + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.3.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.4

Развернем $(\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + \sin (A) (\sin (A) - \sin (B)) + \sin (B) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + \sin (A) \sin (A) + \sin (A) (- \sin (B)) + \sin (B) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + \sin (A) \sin (A) + \sin (A) (- \sin (B)) + \sin (B) \sin (A) + \sin (B) (- \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.5

Объединим противоположные члены в $\sin (A) \sin (A) + \sin (A) (- \sin (B)) + \sin (B) \sin (A) + \sin (B) (- \sin (B))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Изменим порядок множителей в членах $\sin (A) (- \sin (B))$ и $\sin (B) \sin (A)$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + \sin (A) \sin (A) - \sin (A) \sin (B) + \sin (A) \sin (B) + \sin (B) (- \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.5.2

Добавим $- \sin (A) \sin (B)$ и $\sin (A) \sin (B)$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + \sin (A) \sin (A) + 0 + \sin (B) (- \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.5.3

Добавим $\sin (A) \sin (A)$ и $0$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + \sin (A) \sin (A) + \sin (B) (- \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Умножим $\sin (A) \sin (A)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Возведем $\sin (A)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + \sin^{1} (A) \sin (A) + \sin (B) (- \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.6.1.2

Возведем $\sin (A)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + \sin^{1} (A) \sin^{1} (A) + \sin (B) (- \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.6.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + {\sin (A)}^{1 + 1} + \sin (B) (- \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.6.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + \sin^{2} (A) + \sin (B) (- \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.6.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + \sin^{2} (A) - \sin (B) \sin (B)}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.6.3

Умножим $- \sin (B) \sin (B)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Возведем $\sin (B)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + \sin^{2} (A) - (\sin^{1} (B) \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.6.3.2

Возведем $\sin (B)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + \sin^{2} (A) - (\sin^{1} (B) \sin^{1} (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.6.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + \sin^{2} (A) - {\sin (B)}^{1 + 1}}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.6.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + \sin^{2} (A) - \sin^{2} (B)}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.7

Перепишем $\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + \sin^{2} (A) - \sin^{2} (B)$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Перегруппируем члены.

$\frac{- \cos^{2} (B) + \cos^{2} (A) + \sin^{2} (A) - \sin^{2} (B)}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.7.2

Переставляем члены.

$\frac{- \cos^{2} (B) + \sin^{2} (A) + \cos^{2} (A) - \sin^{2} (B)}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.7.3

Применим формулу Пифагора.

$\frac{- \cos^{2} (B) + 1 - \sin^{2} (B)}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.7.4

Перепишем $1 - \sin^{2} (B)$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{- \cos^{2} (B) + 1^{2} - \sin^{2} (B)}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.7.4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \sin (B)$ .

$\frac{- \cos^{2} (B) + (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos^{2} (B) + (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos^{2} (B)$ .

$\frac{- (\cos^{2} (B)) + (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.7.5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $(1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))$ .

$\frac{- (\cos^{2} (B)) - ((- 1 - \sin (B)) (1 - \sin (B)))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.7.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\cos^{2} (B)) - ((- 1 - \sin (B)) (1 - \sin (B)))$ .

$\frac{- (\cos^{2} (B) + (- 1 - \sin (B)) (1 - \sin (B)))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.7.6

Развернем $(- 1 - \sin (B)) (1 - \sin (B))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 (1 - \sin (B)) - \sin (B) (1 - \sin (B)))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.7.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 \cdot 1 - 1 (- \sin (B)) - \sin (B) (1 - \sin (B)))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.7.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 \cdot 1 - 1 (- \sin (B)) - \sin (B) \cdot 1 - \sin (B) (- \sin (B)))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.7.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.7.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 - 1 (- \sin (B)) - \sin (B) \cdot 1 - \sin (B) (- \sin (B)))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.7.7.1.2

Умножим $- 1 (- \sin (B))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.7.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 + 1 \sin (B) - \sin (B) \cdot 1 - \sin (B) (- \sin (B)))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.7.7.1.2.2

Умножим $\sin (B)$ на $1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 + \sin (B) - \sin (B) \cdot 1 - \sin (B) (- \sin (B)))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.7.7.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 + \sin (B) - \sin (B) - \sin (B) (- \sin (B)))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.7.7.1.4

Умножим $- \sin (B) (- \sin (B))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.7.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 + \sin (B) - \sin (B) + 1 \sin (B) \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.7.7.1.4.2

Умножим $\sin (B)$ на $1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 + \sin (B) - \sin (B) + \sin (B) \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.7.7.1.4.3

Возведем $\sin (B)$ в степень $1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 + \sin (B) - \sin (B) + \sin^{1} (B) \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.7.7.1.4.4

Возведем $\sin (B)$ в степень $1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 + \sin (B) - \sin (B) + \sin^{1} (B) \sin^{1} (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.7.7.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 + \sin (B) - \sin (B) + {\sin (B)}^{1 + 1})}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.7.7.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 + \sin (B) - \sin (B) + \sin^{2} (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.7.7.2

Вычтем $\sin (B)$ из $\sin (B)$ .

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 + 0 + \sin^{2} (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.7.7.3

Добавим $- 1$ и $0$ .

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 + \sin^{2} (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.7.8

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 (1) + \sin^{2} (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.7.9

Вынесем множитель $- 1$ из $\sin^{2} (B)$ .

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (B)))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.7.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (B))$ .

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 (1 - \sin^{2} (B)))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.7.11

Перепишем $- 1 (1 - \sin^{2} (B))$ в виде $- (1 - \sin^{2} (B))$ .

$\frac{- (\cos^{2} (B) - (1 - \sin^{2} (B)))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.7.12

Применим формулу Пифагора.

$\frac{- (\cos^{2} (B) - \cos^{2} (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 5.7.13

Вычтем $\cos^{2} (B)$ из $\cos^{2} (B)$ .

$\frac{- 0}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 6

Умножим на ноль.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Этап 6.2

Разделим $0$ на $(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))$ .

$0$