Алгебра Примеры

$2 \sqrt{x} + 3 \leq 8$

Этап 1

Перенесем все члены без $2 \sqrt{x}$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$2 \sqrt{x} \leq 8 - 3$

Этап 1.2

Вычтем $3$ из $8$ .

$2 \sqrt{x} \leq 5$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${(2 \sqrt{x})}^{2} \leq 5^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 5^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 5^{2}$

Этап 3.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 5^{2}$

Этап 3.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 5^{2}$

Этап 3.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 5^{2}$

Этап 3.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 x^{1} \leq 5^{2}$

Этап 3.2.1.4

Упростим.

$4 x \leq 5^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$4 x \leq 25$

Этап 4

Разделим каждый член $4 x \leq 25$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $4 x \leq 25$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{25}{4}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{25}{4}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{25}{4}$

Этап 5

Найдем область определения $2 \sqrt{x} - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 5.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[0, \infty)$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < \frac{25}{4}$

$x > \frac{25}{4}$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 7.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$2 \sqrt{- 2} + 3 \leq 8$

Этап 7.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{25}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{25}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 7.2.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$2 \sqrt{3} + 3 \leq 8$

Этап 7.2.3

Левая часть $6.46410161$ меньше правой части $8$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 7.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{25}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{25}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 9$

Этап 7.3.2

Заменим $x$ на $9$ в исходном неравенстве.

$2 \sqrt{9} + 3 \leq 8$

Этап 7.3.3

Левая часть $9$ больше правой части $8$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < \frac{25}{4}$ Истина

$x > \frac{25}{4}$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < \frac{25}{4}$ Истина

$x > \frac{25}{4}$ Ложь

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 \leq x \leq \frac{25}{4}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$0 \leq x \leq \frac{25}{4}$

Интервальное представление:

$[0, \frac{25}{4}]$

Этап 10