Алгебра Примеры

$\sqrt{25 y^{2} - 10 y + 1} = 7$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{25 y^{2} - 10 y + 1}}^{2} = 7^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{25 y^{2} - 10 y + 1}$ в виде ${(25 y^{2} - 10 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(25 y^{2} - 10 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 7^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(25 y^{2} - 10 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(25 y^{2} - 10 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(25 y^{2} - 10 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 7^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(25 y^{2} - 10 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 7^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(25 y^{2} - 10 y + 1)}^{1} = 7^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$25 y^{2} - 10 y + 1 = 7^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$25 y^{2} - 10 y + 1 = 49$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $49$ из обеих частей уравнения.

$25 y^{2} - 10 y + 1 - 49 = 0$

Этап 3.2

Вычтем $49$ из $1$ .

$25 y^{2} - 10 y - 48 = 0$

Этап 3.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 25 \cdot - 48 = - 1200$ , а сумма — $b = - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $- 10$ из $- 10 y$ .

$25 y^{2} - 10 y - 48 = 0$

Этап 3.3.1.2

Запишем $- 10$ как $30$ плюс $- 40$

$25 y^{2} + (30 - 40) y - 48 = 0$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$25 y^{2} + 30 y - 40 y - 48 = 0$

Этап 3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(25 y^{2} + 30 y) - 40 y - 48 = 0$

Этап 3.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$5 y (5 y + 6) - 8 (5 y + 6) = 0$

Этап 3.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 y + 6$ .

$(5 y + 6) (5 y - 8) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5 y + 6 = 0$

$5 y - 8 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $5 y + 6$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $5 y + 6$ к $0$ .

$5 y + 6 = 0$

Этап 3.5.2

Решим $5 y + 6 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$5 y = - 6$

Этап 3.5.2.2

Разделим каждый член $5 y = - 6$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Разделим каждый член $5 y = - 6$ на $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{- 6}{5}$

Этап 3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 y}{5} = \frac{- 6}{5}$

Этап 3.5.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 6}{5}$

Этап 3.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{6}{5}$

Этап 3.6

Приравняем $5 y - 8$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $5 y - 8$ к $0$ .

$5 y - 8 = 0$

Этап 3.6.2

Решим $5 y - 8 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$5 y = 8$

Этап 3.6.2.2

Разделим каждый член $5 y = 8$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Разделим каждый член $5 y = 8$ на $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{8}{5}$

Этап 3.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 y}{5} = \frac{8}{5}$

Этап 3.6.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{8}{5}$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(5 y + 6) (5 y - 8) = 0$ верно.

$y = - \frac{6}{5}, \frac{8}{5}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = - \frac{6}{5}, \frac{8}{5}$

Десятичная форма:

$y = - 1.2, 1.6$

Форма смешанных чисел:

$y = - 1 \frac{1}{5}, 1 \frac{3}{5}$