Алгебра Примеры

$2 \sqrt{3 x + 1} = 4 x$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{3 x + 1})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x + 1}$ в виде ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${(2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Этап 2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Этап 2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Этап 2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(3 x + 1)}^{1} = {(4 x)}^{2}$

Этап 2.2.1.4

Упростим.

$4 (3 x + 1) = {(4 x)}^{2}$

Этап 2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (3 x) + 4 \cdot 1 = {(4 x)}^{2}$

Этап 2.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x + 4 \cdot 1 = {(4 x)}^{2}$

Этап 2.2.1.6.2

Умножим $4$ на $1$ .

$12 x + 4 = {(4 x)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(4 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило умножения к $4 x$ .

$12 x + 4 = 4^{2} x^{2}$

Этап 2.3.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$12 x + 4 = 16 x^{2}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $16 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$12 x + 4 - 16 x^{2} = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $12 x + 4 - 16 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Перенесем $4$ .

$12 x - 16 x^{2} + 4 = 0$

Этап 3.2.1.1.2

Изменим порядок $12 x$ и $- 16 x^{2}$ .

$- 16 x^{2} + 12 x + 4 = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 16 x^{2}$ .

$- 4 (4 x^{2}) + 12 x + 4 = 0$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $12 x$ .

$- 4 (4 x^{2}) - 4 (- 3 x) + 4 = 0$

Этап 3.2.1.4

Вынесем множитель $- 4$ из $4$ .

$- 4 (4 x^{2}) - 4 (- 3 x) - 4 \cdot - 1 = 0$

Этап 3.2.1.5

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 (4 x^{2}) - 4 (- 3 x)$ .

$- 4 (4 x^{2} - 3 x) - 4 \cdot - 1 = 0$

Этап 3.2.1.6

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 (4 x^{2} - 3 x) - 4 (- 1)$ .

$- 4 (4 x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Этап 3.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ , а сумма — $b = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x$ .

$- 4 (4 x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Этап 3.2.2.1.1.2

Запишем $- 3$ как $1$ плюс $- 4$

$- 4 (4 x^{2} + (1 - 4) x - 1) = 0$

Этап 3.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 (4 x^{2} + 1 x - 4 x - 1) = 0$

Этап 3.2.2.1.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$- 4 (4 x^{2} + x - 4 x - 1) = 0$

Этап 3.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- 4 ((4 x^{2} + x) - 4 x - 1) = 0$

Этап 3.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- 4 (x (4 x + 1) - (4 x + 1)) = 0$

Этап 3.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x + 1$ .

$- 4 ((4 x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 3.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 4 (4 x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $4 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $4 x + 1$ к $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Этап 3.4.2

Решим $4 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - 1$

Этап 3.4.2.2

Разделим каждый член $4 x = - 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = - 1$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 3.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Этап 3.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{4}$

Этап 3.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 4 (4 x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{4}, 1$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $2 \sqrt{3 x + 1} = 4 x$ истинным.

$x = 1$