Алгебра Примеры

$k = 1 + \sqrt{3 k - 5}$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$1 + \sqrt{3 k - 5} = k$

Этап 2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{3 k - 5} = k - 1$

Этап 3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{3 k - 5}}^{2} = {(k - 1)}^{2}$

Этап 4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 k - 5}$ в виде ${(3 k - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 k - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(k - 1)}^{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${({(3 k - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 k - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 k - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(k - 1)}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(3 k - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(k - 1)}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(3 k - 5)}^{1} = {(k - 1)}^{2}$

Этап 4.2.1.2

Упростим.

$3 k - 5 = {(k - 1)}^{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим ${(k - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем ${(k - 1)}^{2}$ в виде $(k - 1) (k - 1)$ .

$3 k - 5 = (k - 1) (k - 1)$

Этап 4.3.1.2

Развернем $(k - 1) (k - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 k - 5 = k (k - 1) - 1 (k - 1)$

Этап 4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 k - 5 = k \cdot k + k \cdot - 1 - 1 (k - 1)$

Этап 4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 k - 5 = k \cdot k + k \cdot - 1 - 1 k - 1 \cdot - 1$

Этап 4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.1

Умножим $k$ на $k$ .

$3 k - 5 = k^{2} + k \cdot - 1 - 1 k - 1 \cdot - 1$

Этап 4.3.1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $k$ .

$3 k - 5 = k^{2} - 1 \cdot k - 1 k - 1 \cdot - 1$

Этап 4.3.1.3.1.3

Перепишем $- 1 k$ в виде $- k$ .

$3 k - 5 = k^{2} - k - 1 k - 1 \cdot - 1$

Этап 4.3.1.3.1.4

Перепишем $- 1 k$ в виде $- k$ .

$3 k - 5 = k^{2} - k - k - 1 \cdot - 1$

Этап 4.3.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 k - 5 = k^{2} - k - k + 1$

Этап 4.3.1.3.2

Вычтем $k$ из $- k$ .

$3 k - 5 = k^{2} - 2 k + 1$

Этап 5

Решим относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $k$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$k^{2} - 2 k + 1 = 3 k - 5$

Этап 5.2

Перенесем все члены с $k$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $3 k$ из обеих частей уравнения.

$k^{2} - 2 k + 1 - 3 k = - 5$

Этап 5.2.2

Вычтем $3 k$ из $- 2 k$ .

$k^{2} - 5 k + 1 = - 5$

Этап 5.3

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$k^{2} - 5 k + 1 + 5 = 0$

Этап 5.4

Добавим $1$ и $5$ .

$k^{2} - 5 k + 6 = 0$

Этап 5.5

Разложим $k^{2} - 5 k + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $6$ , а сумма — $- 5$ .

$- 3, - 2$

Этап 5.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(k - 3) (k - 2) = 0$

Этап 5.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$k - 3 = 0$

$k - 2 = 0$

Этап 5.7

Приравняем $k - 3$ к $0$ , затем решим относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Приравняем $k - 3$ к $0$ .

$k - 3 = 0$

Этап 5.7.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$k = 3$

Этап 5.8

Приравняем $k - 2$ к $0$ , затем решим относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Приравняем $k - 2$ к $0$ .

$k - 2 = 0$

Этап 5.8.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$k = 2$

Этап 5.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(k - 3) (k - 2) = 0$ верно.

$k = 3, 2$