Алгебра Примеры

$\frac{x - 2}{x + 1} > 2$

Этап 1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$\frac{x - 2}{x + 1} - 2 > 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x - 2}{x + 1} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 2}{x + 1} - 2 \cdot \frac{x + 1}{x + 1} > 0$

Этап 2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 2}{x + 1} + \frac{- 2 (x + 1)}{x + 1} > 0$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 2 - 2 (x + 1)}{x + 1} > 0$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - 2 - 2 x - 2 \cdot 1}{x + 1} > 0$

Этап 2.4.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{x - 2 - 2 x - 2}{x + 1} > 0$

Этап 2.4.3

Вычтем $2 x$ из $x$ .

$\frac{- x - 2 - 2}{x + 1} > 0$

Этап 2.4.4

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$\frac{- x - 4}{x + 1} > 0$

Этап 2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (x) - 4}{x + 1} > 0$

Этап 2.6

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$\frac{- (x) - 1 (4)}{x + 1} > 0$

Этап 2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (4)$ .

$\frac{- (x + 4)}{x + 1} > 0$

Этап 2.8

Перепишем $- (x + 4)$ в виде $- 1 (x + 4)$ .

$\frac{- 1 (x + 4)}{x + 1} > 0$

Этап 2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x + 4}{x + 1} > 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x + 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 4

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 5

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - 4$

$x = - 1$

Этап 7

Объединим решения.

$x = - 4, - 1$

Этап 8

Найдем область определения $- \frac{x + 4}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим знаменатель в $\frac{x + 4}{x + 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 1 = 0$

Этап 8.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 1$

$x > - 1$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 6) - 2}{(- 6) + 1} > 2$

Этап 10.1.3

Левая часть $1.6$ не больше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- 4 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 2) - 2}{(- 2) + 1} > 2$

Этап 10.2.3

Левая часть $4$ больше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) - 2}{(0) + 1} > 2$

Этап 10.3.3

Левая часть $- 2$ не больше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < - 1$ Истина

$x > - 1$ Ложь

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < - 1$ Истина

$x > - 1$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 4 < x < - 1$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 4 < x < - 1$

Интервальное представление:

$(- 4, - 1)$

Этап 13