Алгебра Примеры

$(x^{2} - 1) \cdot (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} + 1)$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{1}{x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$(x^{2} - 1) \cdot (\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} + 1)$

Этап 2

Чтобы записать $- \frac{1}{x + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$(x^{2} - 1) \cdot (\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + 1)$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 1) (x + 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{x - 1}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$(x^{2} - 1) \cdot (\frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + 1)$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$(x^{2} - 1) \cdot (\frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)} - \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + 1)$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $(x - 1) (x + 1)$ .

$(x^{2} - 1) \cdot (\frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + 1)$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$(x^{2} - 1) \cdot (\frac{x + 1 - (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} + 1)$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} - 1) \cdot (\frac{x + 1 - x - - 1}{(x + 1) (x - 1)} + 1)$

Этап 5.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(x^{2} - 1) \cdot (\frac{x + 1 - x + 1}{(x + 1) (x - 1)} + 1)$

Этап 5.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$(x^{2} - 1) \cdot (\frac{0 + 1 + 1}{(x + 1) (x - 1)} + 1)$

Этап 5.4

Добавим $0$ и $1$ .

$(x^{2} - 1) \cdot (\frac{1 + 1}{(x + 1) (x - 1)} + 1)$

Этап 5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$(x^{2} - 1) \cdot (\frac{2}{(x + 1) (x - 1)} + 1)$

Этап 6

Развернем $(x^{2} - 1) (\frac{2}{(x + 1) (x - 1)} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} (\frac{2}{(x + 1) (x - 1)} + 1) - 1 (\frac{2}{(x + 1) (x - 1)} + 1)$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} + x^{2} \cdot 1 - 1 (\frac{2}{(x + 1) (x - 1)} + 1)$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} + x^{2} \cdot 1 - 1 \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} - 1 \cdot 1$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{(x + 1) (x - 1)} + x^{2} \cdot 1 - 1 \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} - 1 \cdot 1$

Этап 7.1.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} + x^{2} \cdot 1 - 1 \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} - 1 \cdot 1$

Этап 7.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} + x^{2} - 1 \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} - 1 \cdot 1$

Этап 7.1.4

Перепишем $- 1 \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ в виде $- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{2 x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} + x^{2} - \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} - 1 \cdot 1$

Этап 7.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} + x^{2} - \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} - 1$

Этап 7.2

Изменим порядок $\frac{2 x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ и $x^{2}$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} - 1$