Алгебра Примеры

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1)} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $x^{2} + 3 x + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $3$ .

$1, 2$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1)} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1)} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 2}{x {(x + 2)}^{3}} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $x + 2$ и ${(x + 2)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим на $1$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 1}{x {(x + 2)}^{3}} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Этап 1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $x + 2$ из $x {(x + 2)}^{3}$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 1}{(x + 2) (x {(x + 2)}^{2})} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Этап 1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 2) \cdot 1}{(x + 2) (x {(x + 2)}^{2})} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Этап 1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x {(x + 2)}^{2}} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{1}{x {(x + 2)}^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{1}{x {(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{1}{x {(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x (x + 5) {(x + 2)}^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{x {(x + 2)}^{2}}$ на $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{x + 5}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$ на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x + 5}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)} - \frac{x + 2}{x (x + 2) (x + 5) (x + 2)}$

Этап 4.3

Возведем $x + 2$ в степень $1$ .

$\frac{x + 5}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)} - \frac{x + 2}{x ({(x + 2)}^{1} (x + 2)) (x + 5)}$

Этап 4.4

Возведем $x + 2$ в степень $1$ .

$\frac{x + 5}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)} - \frac{x + 2}{x ({(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1}) (x + 5)}$

Этап 4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x + 5}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)} - \frac{x + 2}{x {(x + 2)}^{1 + 1} (x + 5)}$

Этап 4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x + 5}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)} - \frac{x + 2}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x + 5 - (x + 2)}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + 5 - x - 1 \cdot 2}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)}$

Этап 6.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x + 5 - x - 2}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)}$

Этап 6.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{0 + 5 - 2}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)}$

Этап 6.4

Добавим $0$ и $5$ .

$\frac{5 - 2}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)}$

Этап 6.5

Вычтем $2$ из $5$ .

$\frac{3}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)}$