Алгебра Примеры

$7 \sqrt{x} + 1 < 9$

Этап 1

Перенесем все члены без $7 \sqrt{x}$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$7 \sqrt{x} < 9 - 1$

Этап 1.2

Вычтем $1$ из $9$ .

$7 \sqrt{x} < 8$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${(7 \sqrt{x})}^{2} < 8^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(7 x^{\frac{1}{2}})}^{2} < 8^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(7 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $7 x^{\frac{1}{2}}$ .

$7^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < 8^{2}$

Этап 3.2.1.2

Возведем $7$ в степень $2$ .

$49 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < 8^{2}$

Этап 3.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$49 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 8^{2}$

Этап 3.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$49 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 8^{2}$

Этап 3.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$49 x^{1} < 8^{2}$

Этап 3.2.1.4

Упростим.

$49 x < 8^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$49 x < 64$

Этап 4

Разделим каждый член $49 x < 64$ на $49$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $49 x < 64$ на $49$ .

$\frac{49 x}{49} < \frac{64}{49}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $49$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{49 x}{49} < \frac{64}{49}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{64}{49}$

Этап 5

Найдем область определения $7 \sqrt{x} - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 5.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[0, \infty)$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < \frac{64}{49}$

$x > \frac{64}{49}$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 7.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$7 \sqrt{- 2} + 1 < 9$

Этап 7.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{64}{49}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{64}{49}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 7.2.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$7 \sqrt{1} + 1 < 9$

Этап 7.2.3

Левая часть $8$ меньше правой части $9$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 7.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{64}{49}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{64}{49}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 7.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$7 \sqrt{4} + 1 < 9$

Этап 7.3.3

Левая часть $15$ не меньше правой части $9$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < \frac{64}{49}$ Истина

$x > \frac{64}{49}$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < \frac{64}{49}$ Истина

$x > \frac{64}{49}$ Ложь

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x < \frac{64}{49}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$0 < x < \frac{64}{49}$

Интервальное представление:

$(0, \frac{64}{49})$

Этап 10