Алгебра Примеры

$\frac{(x - 12) (x + 5)}{{(x - 3)}^{3}} \leq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 12 = 0$

$x + 5 = 0$

${(x - 3)}^{3} = 0$

Этап 2

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$x = 12$

Этап 3

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 4

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 12$

$x = - 5$

$x = 3$

Этап 7

Объединим решения.

$x = 12, - 5, 3$

Этап 8

Найдем область определения $\frac{(x - 12) (x + 5)}{{(x - 3)}^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x - 12) (x + 5)}{{(x - 3)}^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 3)}^{3} = 0$

Этап 8.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 8.2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 5$

$- 5 < x < 3$

$3 < x < 12$

$x > 12$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$\frac{((- 8) - 12) ((- 8) + 5)}{{((- 8) - 3)}^{3}} \leq 0$

Этап 10.1.3

Левая часть $- 0.04507888$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- 5 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{((0) - 12) ((0) + 5)}{{((0) - 3)}^{3}} \leq 0$

Этап 10.2.3

Левая часть $2.\overline{2}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $3 < x < 12$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $3 < x < 12$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\frac{((8) - 12) ((8) + 5)}{{((8) - 3)}^{3}} \leq 0$

Этап 10.3.3

Левая часть $- 0.416$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.4

Проверим значение на интервале $x > 12$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Выберем значение на интервале $x > 12$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 14$

Этап 10.4.2

Заменим $x$ на $14$ в исходном неравенстве.

$\frac{((14) - 12) ((14) + 5)}{{((14) - 3)}^{3}} \leq 0$

Этап 10.4.3

Левая часть $0.02854996$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 5$ Истина

$- 5 < x < 3$ Ложь

$3 < x < 12$ Истина

$x > 12$ Ложь

$x < - 5$ Истина

$- 5 < x < 3$ Ложь

$3 < x < 12$ Истина

$x > 12$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 5$ или $3 < x \leq 12$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x \leq - 5 or 3 < x \leq 12$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 5] \cup (3, 12]$

Этап 13