Алгебра Примеры

$x^{2} - y^{2} = 9$

Этап 1

Так как $x = r \cos (θ)$ , заменим $x$ на $r \cos (θ)$ .

${(r \cos (θ))}^{2} - y^{2} = 9$

Этап 2

Так как $y = r \sin (θ)$ , заменим $y$ на $r \sin (θ)$ .

${(r \cos (θ))}^{2} - {(r \sin (θ))}^{2} = 9$

Этап 3

Решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим ${(r \cos (θ))}^{2} - {(r \sin (θ))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = r \cos (θ)$ и $b = r \sin (θ)$ .

$(r \cos (θ) + r \sin (θ)) (r \cos (θ) - (r \sin (θ))) = 9$

Этап 3.1.1.2

Развернем $(r \cos (θ) + r \sin (θ)) (r \cos (θ) - r \sin (θ))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r \cos (θ) (r \cos (θ) - r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ) - r \sin (θ)) = 9$

Этап 3.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) (- r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ) - r \sin (θ)) = 9$

Этап 3.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) (- r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 9$

Этап 3.1.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1

Объединим противоположные члены в $r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) (- r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1.1

Изменим порядок множителей в членах $r \cos (θ) (- r \sin (θ))$ и $r \sin (θ) (r \cos (θ))$ .

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) - r \cdot r \cos (θ) \sin (θ) + r \cdot r \cos (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 9$

Этап 3.1.1.3.1.2

Добавим $- r \cdot r \cos (θ) \sin (θ)$ и $r \cdot r \cos (θ) \sin (θ)$ .

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + 0 + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 9$

Этап 3.1.1.3.1.3

Добавим $r \cos (θ) (r \cos (θ))$ и $0$ .

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 9$

Этап 3.1.1.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.2.1

Умножим $r$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.2.1.1

Перенесем $r$ .

$r \cdot r \cos (θ) \cos (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 9$

Этап 3.1.1.3.2.1.2

Умножим $r$ на $r$ .

$r^{2} \cos (θ) \cos (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 9$

Этап 3.1.1.3.2.2

Умножим $r^{2} \cos (θ) \cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.2.2.1

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$r^{2} (\cos^{1} (θ) \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 9$

Этап 3.1.1.3.2.2.2

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$r^{2} (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 9$

Этап 3.1.1.3.2.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$r^{2} {\cos (θ)}^{1 + 1} + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 9$

Этап 3.1.1.3.2.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 9$

Этап 3.1.1.3.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r \sin (θ) r \sin (θ) = 9$

Этап 3.1.1.3.2.4

Умножим $r$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.2.4.1

Перенесем $r$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - (r \cdot r) \sin (θ) \sin (θ) = 9$

Этап 3.1.1.3.2.4.2

Умножим $r$ на $r$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} \sin (θ) \sin (θ) = 9$

Этап 3.1.1.3.2.5

Умножим $- r^{2} \sin (θ) \sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.2.5.1

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} (\sin^{1} (θ) \sin (θ)) = 9$

Этап 3.1.1.3.2.5.2

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)) = 9$

Этап 3.1.1.3.2.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} {\sin (θ)}^{1 + 1} = 9$

Этап 3.1.1.3.2.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} \sin^{2} (θ) = 9$

Этап 3.2

Вынесем множитель $r^{2}$ из $r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} \sin^{2} (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $r^{2}$ из $- r^{2} \sin^{2} (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} (- 1 \sin^{2} (θ)) = 9$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $r^{2}$ из $r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} (- 1 \sin^{2} (θ))$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ) - 1 \sin^{2} (θ)) = 9$

Этап 3.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \cos (θ)$ и $b = \sin (θ)$ .

$r^{2} ((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))) = 9$

Этап 3.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)) = 9$

Этап 3.4

Разделим каждый член $r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)) = 9$ на $(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разделим каждый член $r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)) = 9$ на $(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ .

$\frac{r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))} = \frac{9}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $\cos (θ) + \sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))} = \frac{9}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Этап 3.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{r^{2} (\cos (θ) - \sin (θ))}{\cos (θ) - \sin (θ)} = \frac{9}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Этап 3.4.2.2

Сократим общий множитель $\cos (θ) - \sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{r^{2} (\cos (θ) - \sin (θ))}{\cos (θ) - \sin (θ)} = \frac{9}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Этап 3.4.2.2.2

Разделим $r^{2}$ на $1$ .

$r^{2} = \frac{9}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Этап 3.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$r = \pm \sqrt{\frac{9}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Этап 3.6

Упростим $\pm \sqrt{\frac{9}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем $\sqrt{\frac{9}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ в виде $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Этап 3.6.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Этап 3.6.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$r = \pm \frac{3}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Этап 3.6.3

Умножим $\frac{3}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ на $\frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ .

$r = \pm \frac{3}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}} \cdot \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Этап 3.6.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

$r = \pm \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))} \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Этап 3.6.4.2

Возведем $\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$ в степень $1$ .

$r = \pm \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1} \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Этап 3.6.4.3

Возведем $\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$ в степень $1$ .

$r = \pm \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1} {\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1}}$

Этап 3.6.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$r = \pm \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1 + 1}}$

Этап 3.6.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$r = \pm \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{2}}$

Этап 3.6.4.6

Перепишем ${\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{2}$ в виде $(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$ в виде ${((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \pm \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{({((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.6.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \pm \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.6.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$r = \pm \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.6.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$r = \pm \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.6.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$r = \pm \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{1}}$

Этап 3.6.4.6.5

Упростим.

$r = \pm \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Этап 3.7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$r = \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Этап 3.7.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$r = - \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Этап 3.7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$r = \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = - \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = - \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = - \frac{3 \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$