Примеры

f (x) = x^{2} + 6 x - 36

$f (x) = x^{2} + 6 x - 36$

Этап 1

Запишем

f (x) = x^{2} + 6 x - 36

$f (x) = x^{2} + 6 x - 36$ в виде уравнения.

y = x^{2} + 6 x - 36

$y = x^{2} + 6 x - 36$

Этап 2

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим полный квадрат для

x^{2} + 6 x - 36

$x^{2} + 6 x - 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим форму

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения

a

$a$ ,

b

$b$ и

c

$c$ .

a = 1

$a = 1$

b = 6

$b = 6$

c = - 36

$c = - 36$

Этап 2.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.3

Найдем значение

d

$d$ по формуле

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Подставим значения

a

$a$ и

b

$b$ в формулу

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{6}{2 \cdot 1}

$d = \frac{6}{2 \cdot 1}$

Этап 2.1.3.2

Сократим общий множитель

6

$6$ и

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

6

$6$ .

d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Этап 2.1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.2.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$ .

d = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)}

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

Этап 2.1.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Этап 2.1.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

d = \frac{3}{1}

$d = \frac{3}{1}$

Этап 2.1.3.2.2.4

Разделим

3

$3$ на

1

$1$ .

d = 3

$d = 3$

d = 3

$d = 3$

d = 3

$d = 3$

d = 3

$d = 3$

Этап 2.1.4

Найдем значение

e

$e$ по формуле

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Подставим значения

c

$c$ ,

b

$b$ и

a

$a$ в формулу

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = - 36 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 36 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 2.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.1

Возведем

6

$6$ в степень

2

$2$ .

e = - 36 - \frac{36}{4 \cdot 1}

$e = - 36 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Этап 2.1.4.2.1.2

Умножим

4

$4$ на

1

$1$ .

e = - 36 - \frac{36}{4}

$e = - 36 - \frac{36}{4}$

Этап 2.1.4.2.1.3

Разделим

36

$36$ на

4

$4$ .

e = - 36 - 1 \cdot 9

$e = - 36 - 1 \cdot 9$

Этап 2.1.4.2.1.4

Умножим

- 1

$- 1$ на

9

$9$ .

e = - 36 - 9

$e = - 36 - 9$

e = - 36 - 9

$e = - 36 - 9$

Этап 2.1.4.2.2

Вычтем

9

$9$ из

- 36

$- 36$ .

e = - 45

$e = - 45$

e = - 45

$e = - 45$

e = - 45

$e = - 45$

Этап 2.1.5

Подставим значения

a

$a$ ,

d

$d$ и

e

$e$ в уравнение с заданной вершиной

{(x + 3)}^{2} - 45

${(x + 3)}^{2} - 45$ .

{(x + 3)}^{2} - 45

${(x + 3)}^{2} - 45$

{(x + 3)}^{2} - 45

${(x + 3)}^{2} - 45$

Этап 2.2

Приравняем

y

$y$ к новой правой части.

y = {(x + 3)}^{2} - 45

$y = {(x + 3)}^{2} - 45$

y = {(x + 3)}^{2} - 45

$y = {(x + 3)}^{2} - 45$

Этап 3

Воспользуемся формой с выделенной вершиной

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения

a

$a$ ,

h

$h$ и

k

$k$ .

a = 1

$a = 1$

h = - 3

$h = - 3$

k = - 45

$k = - 45$

Этап 4

Поскольку

a

$a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 5

Найдем вершину

(h, k)

$(h, k)$ .

(- 3, - 45)

$(- 3, - 45)$

Этап 6

Найдем

p

$p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

Этап 6.2

Подставим значение

a

$a$ в формулу.

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель

1

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель.

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 6.3.2

Перепишем это выражение.

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

Этап 7

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Фокус параболы можно найти, добавив

p

$p$ к координате y

k

$k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

(h, k + p)

$(h, k + p)$

Этап 7.2

Подставим известные значения

h

$h$ ,

p

$p$ и

k

$k$ в формулу и упростим.

(- 3, - \frac{179}{4})

$(- 3, - \frac{179}{4})$

(- 3, - \frac{179}{4})

$(- 3, - \frac{179}{4})$

Этап 8

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

x = - 3

$x = - 3$

Этап 9

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием

p

$p$ из y-координаты вершины

k

$k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

y = k - p

$y = k - p$

Этап 9.2

Подставим известные значения

p

$p$ и

k

$k$ в формулу и упростим.

y = - \frac{181}{4}

$y = - \frac{181}{4}$

y = - \frac{181}{4}

$y = - \frac{181}{4}$

Этап 10

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина:

(- 3, - 45)

$(- 3, - 45)$

Фокус:

(- 3, - \frac{179}{4})

$(- 3, - \frac{179}{4})$

Ось симметрии:

x = - 3

$x = - 3$

Директриса:

y = - \frac{181}{4}

$y = - \frac{181}{4}$

Этап 11

Введите СВОЮ задачу