Примеры

$x - y = 4$ , $4 x - y = - 5$

Этап 1

Чтобы найти пересечение прямой, проходящей через точку $(p, q, r)$ перпендикулярно плоскости $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ , с плоскостью $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Найдем векторы нормали плоскости $P_{1}$ и плоскости $P_{2}$ , где векторы нормали — это $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ и $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Проверим, равно ли скалярное произведение 0.

2. Создадим набор параметрических уравнений, таких как $x = p + a t$ , $y = q + b t$ и $z = r + c t$ .

3. Подставим эти уравнения в уравнение для плоскости $P_{2}$ так, чтобы $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ , и решим для $t$

4. Используя значение $t$ , решим параметрические уравнения $x = p + a t$ , $y = q + b t$ и $z = r + c t$ относительно $t$ , чтобы найти пересечение $(x, y, z)$ .

Этап 2

Найдем нормальные векторы для каждой плоскости и определим, перпендикулярны ли они, вычислив скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$P_{1}$ представляет собой $x - y = 4$ . Найдем вектор нормали $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ из уравнения плоскости вида $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ 1, - 1, 0 ⟩$

Этап 2.2

$P_{2}$ представляет собой $4 x - y = - 5$ . Найдем вектор нормали $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ из уравнения плоскости вида $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 4, - 1, 0 ⟩$

Этап 2.3

Вычислим скалярное произведение $n_{1}$ и $n_{2}$ , суммируя произведения соответствующих значений $x$ , $y$ и $z$ в векторах нормали.

$1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Этап 2.4

Упростим скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Избавимся от скобок.

$1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Этап 2.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $4$ на $1$ .

$4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Этап 2.4.2.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 + 1 + 0 \cdot 0$

Этап 2.4.2.3

Умножим $0$ на $0$ .

$4 + 1 + 0$

Этап 2.4.3

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Добавим $4$ и $1$ .

$5 + 0$

Этап 2.4.3.2

Добавим $5$ и $0$ .

$5$

Этап 3

Затем составим набор параметрических уравнений $x = p + a t$ , $y = q + b t$ и $z = r + c t$ , используя начало координат $(0, 0, 0)$ для точки $(p, q, r)$ и значения из вектора нормали $5$ для получения значений $a$ , $b$ и $c$ . Этот набор параметрических уравнений представляет прямую, проходящую через начало координат и перпендикулярную $P_{1}$ $x - y = 4$ .

$x = 0 + 1 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Этап 4

Подставим выражение для $x$ , $y$ и $z$ в уравнение для $P_{2}$ $4 x - y = - 5$ .

$4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5$

Этап 5

Решим уравнение относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим противоположные члены в $4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Добавим $0$ и $1 \cdot t$ .

$4 (1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5$

Этап 5.1.1.2

Вычтем $1 \cdot t$ из $0$ .

$4 (1 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = - 5$

Этап 5.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим $t$ на $1$ .

$4 t - (- 1 \cdot t) = - 5$

Этап 5.1.2.2

Перепишем $- 1 t$ в виде $- t$ .

$4 t - - t = - 5$

Этап 5.1.2.3

Умножим $- - t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 t + 1 t = - 5$

Этап 5.1.2.3.2

Умножим $t$ на $1$ .

$4 t + t = - 5$

Этап 5.1.3

Добавим $4 t$ и $t$ .

$5 t = - 5$

Этап 5.2

Разделим каждый член $5 t = - 5$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $5 t = - 5$ на $5$ .

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 5}{5}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 5}{5}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{- 5}{5}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разделим $- 5$ на $5$ .

$t = - 1$

Этап 6

Решим параметрические уравнения относительно $x$ , $y$ и $z$ , используя значение $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Избавимся от скобок.

$x = 0 + 1 \cdot (- 1)$

Этап 6.1.2

Упростим $0 + 1 \cdot (- 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x = 0 - 1$

Этап 6.1.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$x = - 1$

Этап 6.2

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0 - 1 \cdot - 1$

Этап 6.2.2

Упростим $0 - 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = 0 + 1$

Этап 6.2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$y = 1$

Этап 6.3

Решим уравнение относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Избавимся от скобок.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1)$

Этап 6.3.2

Упростим $0 + 0 \cdot (- 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$z = 0 + 0$

Этап 6.3.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$z = 0$

Этап 6.4

Решенные параметрические уравнения относительно $x$ , $y$ и $z$ .

$x = - 1$

$y = 1$

$z = 0$

$x = - 1$

$y = 1$

$z = 0$

Этап 7

Использование значений, вычисленных для $x$ , $y$ и $z$ , найденная точка пересечения: $(- 1, 1, 0)$ .

$(- 1, 1, 0)$

Введите СВОЮ задачу