Примеры
S([abc])=[a-b-ca-b+ca+b+5c]S⎛⎜⎝⎡⎢⎣abc⎤⎥⎦⎞⎟⎠=⎡⎢⎣a−b−ca−b+ca+b+5c⎤⎥⎦
Этап 1
Преобразование определяет отображение из ℝ3 в ℝ3. Для доказательства того, что преобразование является линейным, необходимо убедиться в сохранении при преобразовании умножения на константу, сложения и нулевого вектора.
S: ℝ3→ℝ3
Этап 2
Сначала докажем, что преобразование сохраняет это свойство.
S(x+y)=S(x)+S(y)
Этап 3
Создадим две матрицы для проверки сохранения свойства аддитивности для S.
S([x1x2x3]+[y1y2y3])
Этап 4
Сложим эти две матрицы.
S[x1+y1x2+y2x3+y3]
Этап 5
Применим данное преобразование к вектору.
S(x+y)=[x1+y1-(x2+y2)-(x3+y3)x1+y1-(x2+y2)+x3+y3x1+y1+x2+y2+5(x3+y3)]
Этап 6
Этап 6.1
Перегруппируем x1+y1-(x2+y2)-(x3+y3).
S(x+y)=[x1-x2-x3+y1-y2-y3x1+y1-(x2+y2)+x3+y3x1+y1+x2+y2+5(x3+y3)]
Этап 6.2
Перегруппируем x1+y1-(x2+y2)+x3+y3.
S(x+y)=[x1-x2-x3+y1-y2-y3x1-x2+x3+y1-y2+y3x1+y1+x2+y2+5(x3+y3)]
Этап 6.3
Перегруппируем x1+y1+x2+y2+5(x3+y3).
S(x+y)=[x1-x2-x3+y1-y2-y3x1-x2+x3+y1-y2+y3x1+x2+5x3+y1+y2+5y3]
S(x+y)=[x1-x2-x3+y1-y2-y3x1-x2+x3+y1-y2+y3x1+x2+5x3+y1+y2+5y3]
Этап 7
Разобьем результат на две матрицы, сгруппировав переменные.
S(x+y)=[x1-x2-x3x1-x2+x3x1+x2+5x3]+[y1-y2-y3y1-y2+y3y1+y2+5y3]
Этап 8
Свойство аддитивности преобразования сохраняется.
S(x+y)=S(x)+S(y)
Этап 9
Чтобы преобразование было линейным, оно должно сохранять результат скалярного произведения.
S(px)=T(p[abc])
Этап 10
Этап 10.1
Умножим p на каждый элемент матрицы.
S(px)=S([papbpc])
Этап 10.2
Применим данное преобразование к вектору.
S(px)=[(pa)-(pb)-(pc)(pa)-(pb)+pcpa+pb+5(pc)]
Этап 10.3
Упростим каждый элемент матрицы.
Этап 10.3.1
Перегруппируем (pa)-(pb)-(pc).
S(px)=[ap-1bp-1cp(pa)-(pb)+pcpa+pb+5(pc)]
Этап 10.3.2
Перегруппируем (pa)-(pb)+pc.
S(px)=[ap-1bp-1cpap-1bp+cppa+pb+5(pc)]
Этап 10.3.3
Перегруппируем pa+pb+5(pc).
S(px)=[ap-1bp-1cpap-1bp+cpap+bp+5cp]
S(px)=[ap-1bp-1cpap-1bp+cpap+bp+5cp]
Этап 10.4
Разложим каждый элемент матрицы на множители.
Этап 10.4.1
Разложим элемент 0,0 на множители, умножив на ap-1bp-1cp.
S(px)=[p(a-b-c)ap-1bp+cpap+bp+5cp]
Этап 10.4.2
Разложим элемент 1,0 на множители, умножив на ap-1bp+cp.
S(px)=[p(a-b-c)p(a-b+c)ap+bp+5cp]
Этап 10.4.3
Разложим элемент 2,0 на множители, умножив на ap+bp+5cp.
S(px)=[p(a-b-c)p(a-b+c)p(a+b+5c)]
S(px)=[p(a-b-c)p(a-b+c)p(a+b+5c)]
S(px)=[p(a-b-c)p(a-b+c)p(a+b+5c)]
Этап 11
Второе свойство линейных преобразований сохраняется для этого преобразования.
S(p[abc])=pS(x)
Этап 12
Чтобы преобразование было линейным, нулевой вектор должен быть сохранен.
S(0)=0
Этап 13
Применим данное преобразование к вектору.
S(0)=[(0)-(0)-(0)(0)-(0)+00+0+5(0)]
Этап 14
Этап 14.1
Перегруппируем (0)-(0)-(0).
S(0)=[0(0)-(0)+00+0+5(0)]
Этап 14.2
Перегруппируем (0)-(0)+0.
S(0)=[000+0+5(0)]
Этап 14.3
Перегруппируем 0+0+5(0).
S(0)=[000]
S(0)=[000]
Этап 15
Нулевой вектор сохраняется при этом преобразовании.
S(0)=0
Этап 16
Поскольку все три свойства линейных преобразований не выполняются, это преобразование не является линейным.
Линейное преобразование