Примеры

$3 x - y = - 4$ , $x - 2 y = - 3$

Этап 1

Чтобы найти пересечение прямой, проходящей через точку $(p, q, r)$ перпендикулярно плоскости $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ , с плоскостью $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Найдем векторы нормали плоскости $P_{1}$ и плоскости $P_{2}$ , где векторы нормали — это $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ и $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Проверим, равно ли скалярное произведение 0.

2. Создадим набор параметрических уравнений, таких как $x = p + a t$ , $y = q + b t$ и $z = r + c t$ .

3. Подставим эти уравнения в уравнение для плоскости $P_{2}$ так, чтобы $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ , и решим для $t$

4. Используя значение $t$ , решим параметрические уравнения $x = p + a t$ , $y = q + b t$ и $z = r + c t$ относительно $t$ , чтобы найти пересечение $(x, y, z)$ .

Этап 2

Найдем нормальные векторы для каждой плоскости и определим, перпендикулярны ли они, вычислив скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$P_{1}$ представляет собой $3 x - y = - 4$ . Найдем вектор нормали $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ из уравнения плоскости вида $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ 3, - 1, 0 ⟩$

Этап 2.2

$P_{2}$ представляет собой $x - 2 y = - 3$ . Найдем вектор нормали $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ из уравнения плоскости вида $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 1, - 2, 0 ⟩$

Этап 2.3

Вычислим скалярное произведение $n_{1}$ и $n_{2}$ , суммируя произведения соответствующих значений $x$ , $y$ и $z$ в векторах нормали.

$3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Этап 2.4

Упростим скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Избавимся от скобок.

$3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Этап 2.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $3$ на $1$ .

$3 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Этап 2.4.2.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$3 + 2 + 0 \cdot 0$

Этап 2.4.2.3

Умножим $0$ на $0$ .

$3 + 2 + 0$

Этап 2.4.3

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Добавим $3$ и $2$ .

$5 + 0$

Этап 2.4.3.2

Добавим $5$ и $0$ .

$5$

Этап 3

Затем составим набор параметрических уравнений $x = p + a t$ , $y = q + b t$ и $z = r + c t$ , используя начало координат $(0, 0, 0)$ для точки $(p, q, r)$ и значения из вектора нормали $5$ для получения значений $a$ , $b$ и $c$ . Этот набор параметрических уравнений представляет прямую, проходящую через начало координат и перпендикулярную $P_{1}$ $3 x - y = - 4$ .

$x = 0 + 3 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Этап 4

Подставим выражение для $x$ , $y$ и $z$ в уравнение для $P_{2}$ $x - 2 y = - 3$ .

$(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3$

Этап 5

Решим уравнение относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим противоположные члены в $(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Добавим $0$ и $3 \cdot t$ .

$3 \cdot t - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3$

Этап 5.1.1.2

Вычтем $1 \cdot t$ из $0$ .

$3 \cdot t - 2 (- 1 \cdot t) = - 3$

Этап 5.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Перепишем $- 1 t$ в виде $- t$ .

$3 t - 2 (- t) = - 3$

Этап 5.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$3 t + 2 t = - 3$

Этап 5.1.3

Добавим $3 t$ и $2 t$ .

$5 t = - 3$

Этап 5.2

Разделим каждый член $5 t = - 3$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $5 t = - 3$ на $5$ .

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 3}{5}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 3}{5}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{- 3}{5}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$t = - \frac{3}{5}$

Этап 6

Решим параметрические уравнения относительно $x$ , $y$ и $z$ , используя значение $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Избавимся от скобок.

$x = 0 + 3 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

Этап 6.1.2

Избавимся от скобок.

$x = 0 + 3 \cdot (- \frac{3}{5})$

Этап 6.1.3

Упростим $0 + 3 \cdot (- \frac{3}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1.1

Умножим $3 (- \frac{3}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x = 0 - 3 (\frac{3}{5})$

Этап 6.1.3.1.1.2

Объединим $- 3$ и $\frac{3}{5}$ .

$x = 0 + \frac{- 3 \cdot 3}{5}$

Этап 6.1.3.1.1.3

Умножим $- 3$ на $3$ .

$x = 0 + \frac{- 9}{5}$

Этап 6.1.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = 0 - \frac{9}{5}$

Этап 6.1.3.2

Вычтем $\frac{9}{5}$ из $0$ .

$x = - \frac{9}{5}$

Этап 6.2

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0 - 1 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

Этап 6.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 0 - 1 \cdot (- \frac{3}{5})$

Этап 6.2.3

Упростим $0 - 1 \cdot (- \frac{3}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $- 1 (- \frac{3}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = 0 + 1 (\frac{3}{5})$

Этап 6.2.3.1.2

Умножим $\frac{3}{5}$ на $1$ .

$y = 0 + \frac{3}{5}$

Этап 6.2.3.2

Добавим $0$ и $\frac{3}{5}$ .

$y = \frac{3}{5}$

Этап 6.3

Решим уравнение относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Избавимся от скобок.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

Этап 6.3.2

Избавимся от скобок.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{3}{5})$

Этап 6.3.3

Упростим $0 + 0 \cdot (- \frac{3}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим $0 (- \frac{3}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$z = 0 + 0 (\frac{3}{5})$

Этап 6.3.3.1.2

Умножим $0$ на $\frac{3}{5}$ .

$z = 0 + 0$

Этап 6.3.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$z = 0$

Этап 6.4

Решенные параметрические уравнения относительно $x$ , $y$ и $z$ .

$x = - \frac{9}{5}$

$y = \frac{3}{5}$

$z = 0$

$x = - \frac{9}{5}$

$y = \frac{3}{5}$

$z = 0$

Этап 7

Использование значений, вычисленных для $x$ , $y$ и $z$ , найденная точка пересечения: $(- \frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 0)$ .

$(- \frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 0)$

Введите СВОЮ задачу