Тригонометрия Примеры

cos (8 x)

$\cos (8 x)$

Этап 1

Хороший способ развертывания

cos (8 x)

$\cos (8 x)$ — применение формулы Муавра

(r {(cos (x) + i \cdot sin (x))}^{n} = r^{n} (cos (n x) + i \cdot sin (n x)))

$(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ . Если

r = 1

$r = 1$ ,

cos (n x) + i \cdot sin (n x) = {(cos (x) + i \cdot sin (x))}^{n}

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ .

cos (n x) + i \cdot sin (n x) = {(cos (x) + i \cdot sin (x))}^{n}

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

Этап 2

Развернем правую часть

cos (n x) + i \cdot sin (n x) = {(cos (x) + i \cdot sin (x))}^{n}

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ , используя бином Ньютона.

Развернуть:

{(cos (x) + i \cdot sin (x))}^{8}

${(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{8}$

Этап 3

Воспользуемся бином Ньютона.

{cos}^{8} (x) + 8 {cos}^{7} (x) (i sin (x)) + 28 {cos}^{6} (x) {(i sin (x))}^{2} + 56 {cos}^{5} (x) {(i sin (x))}^{3} + 70 {cos}^{4} (x) {(i sin (x))}^{4} + 56 {cos}^{3} (x) {(i sin (x))}^{5} + 28 {cos}^{2} (x) {(i sin (x))}^{6} + 8 cos (x) {(i sin (x))}^{7} + {(i sin (x))}^{8}

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) (i \sin (x)) + 28 \cos^{6} (x) {(i \sin (x))}^{2} + 56 \cos^{5} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 70 \cos^{4} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 56 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 28 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{6} + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило умножения к

i sin (x)

$i \sin (x)$ .

{cos}^{8} (x) + 8 {cos}^{7} (x) i sin (x) + 28 {cos}^{6} (x) (i^{2} {sin}^{2} (x)) + 56 {cos}^{5} (x) {(i sin (x))}^{3} + 70 {cos}^{4} (x) {(i sin (x))}^{4} + 56 {cos}^{3} (x) {(i sin (x))}^{5} + 28 {cos}^{2} (x) {(i sin (x))}^{6} + 8 cos (x) {(i sin (x))}^{7} + {(i sin (x))}^{8}

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) + 28 \cos^{6} (x) (i^{2} \sin^{2} (x)) + 56 \cos^{5} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 70 \cos^{4} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 56 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 28 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{6} + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

{cos}^{8} (x) + 8 {cos}^{7} (x) i sin (x) + 28 \cdot i^{2} {cos}^{6} (x) {sin}^{2} (x) + 56 {cos}^{5} (x) {(i sin (x))}^{3} + 70 {cos}^{4} (x) {(i sin (x))}^{4} + 56 {cos}^{3} (x) {(i sin (x))}^{5} + 28 {cos}^{2} (x) {(i sin (x))}^{6} + 8 cos (x) {(i sin (x))}^{7} + {(i sin (x))}^{8}

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) + 28 \cdot i^{2} \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) + 56 \cos^{5} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 70 \cos^{4} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 56 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 28 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{6} + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.3

Перепишем

i^{2}

$i^{2}$ в виде

- 1

$- 1$ .

{cos}^{8} (x) + 8 {cos}^{7} (x) i sin (x) + 28 \cdot - 1 {cos}^{6} (x) {sin}^{2} (x) + 56 {cos}^{5} (x) {(i sin (x))}^{3} + 70 {cos}^{4} (x) {(i sin (x))}^{4} + 56 {cos}^{3} (x) {(i sin (x))}^{5} + 28 {cos}^{2} (x) {(i sin (x))}^{6} + 8 cos (x) {(i sin (x))}^{7} + {(i sin (x))}^{8}

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) + 28 \cdot - 1 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) + 56 \cos^{5} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 70 \cos^{4} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 56 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 28 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{6} + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.4

Умножим

28

$28$ на

- 1

$- 1$ .

{cos}^{8} (x) + 8 {cos}^{7} (x) i sin (x) - 28 {cos}^{6} (x) {sin}^{2} (x) + 56 {cos}^{5} (x) {(i sin (x))}^{3} + 70 {cos}^{4} (x) {(i sin (x))}^{4} + 56 {cos}^{3} (x) {(i sin (x))}^{5} + 28 {cos}^{2} (x) {(i sin (x))}^{6} + 8 cos (x) {(i sin (x))}^{7} + {(i sin (x))}^{8}

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) + 56 \cos^{5} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 70 \cos^{4} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 56 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 28 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{6} + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.5

Применим правило умножения к

i sin (x)

$i \sin (x)$ .

{cos}^{8} (x) + 8 {cos}^{7} (x) i sin (x) - 28 {cos}^{6} (x) {sin}^{2} (x) + 56 {cos}^{5} (x) (i^{3} {sin}^{3} (x)) + 70 {cos}^{4} (x) {(i sin (x))}^{4} + 56 {cos}^{3} (x) {(i sin (x))}^{5} + 28 {cos}^{2} (x) {(i sin (x))}^{6} + 8 cos (x) {(i sin (x))}^{7} + {(i sin (x))}^{8}

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) + 56 \cos^{5} (x) (i^{3} \sin^{3} (x)) + 70 \cos^{4} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 56 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 28 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{6} + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) + 56 \cdot i^{3} \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cos^{4} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 56 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 28 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{6} + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.7

Вынесем

$i^{2}$ за скобки.

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) + 56 \cdot (i^{2} \cdot i) \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cos^{4} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 56 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 28 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{6} + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.8

Перепишем

$i^{2}$ в виде

$- 1$ .

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) + 56 \cdot (- 1 \cdot i) \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cos^{4} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 56 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 28 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{6} + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.9

Перепишем

$- 1 i$ в виде

$- i$ .

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) + 56 \cdot (- i) \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cos^{4} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 56 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 28 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{6} + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.10

Умножим

$- 1$ на

$56$ .

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) - 56 i \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cos^{4} (x) {(i \sin (x))}^{4} + 56 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 28 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{6} + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.11

Применим правило умножения к

$i \sin (x)$ .

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) - 56 i \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cos^{4} (x) (i^{4} \sin^{4} (x)) + 56 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 28 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{6} + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.12

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) - 56 i \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cdot i^{4} \cos^{4} (x) \sin^{4} (x) + 56 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 28 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{6} + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.13

Перепишем

$i^{4}$ в виде

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.13.1

Перепишем

$i^{4}$ в виде

${(i^{2})}^{2}$ .

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) - 56 i \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cdot {(i^{2})}^{2} \cos^{4} (x) \sin^{4} (x) + 56 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 28 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{6} + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.13.2

Перепишем

$i^{2}$ в виде

$- 1$ .

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) - 56 i \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cdot {(- 1)}^{2} \cos^{4} (x) \sin^{4} (x) + 56 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 28 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{6} + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.13.3

Возведем

$- 1$ в степень

$2$ .

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) - 56 i \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cdot 1 \cos^{4} (x) \sin^{4} (x) + 56 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 28 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{6} + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.14

Умножим

$70$ на

$1$ .

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) - 56 i \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cos^{4} (x) \sin^{4} (x) + 56 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{5} + 28 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{6} + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.15

Применим правило умножения к

$i \sin (x)$ .

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) - 56 i \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cos^{4} (x) \sin^{4} (x) + 56 \cos^{3} (x) (i^{5} \sin^{5} (x)) + 28 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{6} + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.16

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) - 56 i \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cos^{4} (x) \sin^{4} (x) + 56 \cdot i^{5} \cos^{3} (x) \sin^{5} (x) + 28 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{6} + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.17

Вынесем

$i^{4}$ за скобки.

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) - 56 i \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cos^{4} (x) \sin^{4} (x) + 56 \cdot (i^{4} i) \cos^{3} (x) \sin^{5} (x) + 28 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{6} + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.18

Перепишем

$i^{4}$ в виде

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.18.1

Перепишем

$i^{4}$ в виде

${(i^{2})}^{2}$ .

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) - 56 i \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cos^{4} (x) \sin^{4} (x) + 56 \cdot ({(i^{2})}^{2} i) \cos^{3} (x) \sin^{5} (x) + 28 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{6} + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.18.2

Перепишем

$i^{2}$ в виде

$- 1$ .

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) - 56 i \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cos^{4} (x) \sin^{4} (x) + 56 \cdot ({(- 1)}^{2} i) \cos^{3} (x) \sin^{5} (x) + 28 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{6} + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.18.3

Возведем

$- 1$ в степень

$2$ .

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) - 56 i \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cos^{4} (x) \sin^{4} (x) + 56 \cdot (1 i) \cos^{3} (x) \sin^{5} (x) + 28 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{6} + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.19

Умножим

$i$ на

$1$ .

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) - 56 i \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cos^{4} (x) \sin^{4} (x) + 56 \cdot i \cos^{3} (x) \sin^{5} (x) + 28 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{6} + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.20

Применим правило умножения к

$i \sin (x)$ .

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) - 56 i \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cos^{4} (x) \sin^{4} (x) + 56 i \cos^{3} (x) \sin^{5} (x) + 28 \cos^{2} (x) (i^{6} \sin^{6} (x)) + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.21

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) - 56 i \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cos^{4} (x) \sin^{4} (x) + 56 i \cos^{3} (x) \sin^{5} (x) + 28 \cdot i^{6} \cos^{2} (x) \sin^{6} (x) + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.22

Вынесем

$i^{4}$ за скобки.

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) - 56 i \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cos^{4} (x) \sin^{4} (x) + 56 i \cos^{3} (x) \sin^{5} (x) + 28 \cdot (i^{4} i^{2}) \cos^{2} (x) \sin^{6} (x) + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.23

Перепишем

$i^{4}$ в виде

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.23.1

Перепишем

$i^{4}$ в виде

${(i^{2})}^{2}$ .

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) - 56 i \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cos^{4} (x) \sin^{4} (x) + 56 i \cos^{3} (x) \sin^{5} (x) + 28 \cdot ({(i^{2})}^{2} i^{2}) \cos^{2} (x) \sin^{6} (x) + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.23.2

Перепишем

$i^{2}$ в виде

$- 1$ .

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) - 56 i \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cos^{4} (x) \sin^{4} (x) + 56 i \cos^{3} (x) \sin^{5} (x) + 28 \cdot ({(- 1)}^{2} i^{2}) \cos^{2} (x) \sin^{6} (x) + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.23.3

Возведем

$- 1$ в степень

$2$ .

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) - 56 i \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cos^{4} (x) \sin^{4} (x) + 56 i \cos^{3} (x) \sin^{5} (x) + 28 \cdot (1 i^{2}) \cos^{2} (x) \sin^{6} (x) + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.24

Умножим

$i^{2}$ на

$1$ .

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) - 56 i \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cos^{4} (x) \sin^{4} (x) + 56 i \cos^{3} (x) \sin^{5} (x) + 28 \cdot i^{2} \cos^{2} (x) \sin^{6} (x) + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.25

Перепишем

$i^{2}$ в виде

$- 1$ .

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) - 56 i \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cos^{4} (x) \sin^{4} (x) + 56 i \cos^{3} (x) \sin^{5} (x) + 28 \cdot - 1 \cos^{2} (x) \sin^{6} (x) + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.26

Умножим

$28$ на

$- 1$ .

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) - 56 i \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cos^{4} (x) \sin^{4} (x) + 56 i \cos^{3} (x) \sin^{5} (x) - 28 \cos^{2} (x) \sin^{6} (x) + 8 \cos (x) {(i \sin (x))}^{7} + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.27

Применим правило умножения к

$i \sin (x)$ .

Этап 4.1.28

Перепишем

$i^{7}$ в виде

$i^{4} (i^{2} \cdot i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.28.1

Вынесем

$i^{4}$ за скобки.

Этап 4.1.28.2

Вынесем

$i^{2}$ за скобки.

Этап 4.1.29

Перепишем

$i^{4}$ в виде

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.29.1

Перепишем

$i^{4}$ в виде

${(i^{2})}^{2}$ .

Этап 4.1.29.2

Перепишем

$i^{2}$ в виде

$- 1$ .

Этап 4.1.29.3

Возведем

$- 1$ в степень

$2$ .

Этап 4.1.30

Умножим

$i^{2} \cdot i$ на

$1$ .

Этап 4.1.31

Перепишем

$i^{2}$ в виде

$- 1$ .

Этап 4.1.32

Перепишем

$- 1 i$ в виде

$- i$ .

Этап 4.1.33

Умножим

$- 1$ на

$8$ .

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) - 56 i \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cos^{4} (x) \sin^{4} (x) + 56 i \cos^{3} (x) \sin^{5} (x) - 28 \cos^{2} (x) \sin^{6} (x) - 8 \cos (x) (i \sin^{7} (x)) + {(i \sin (x))}^{8}$

Этап 4.1.34

Применим правило умножения к

$i \sin (x)$ .

Этап 4.1.35

Перепишем

$i^{8}$ в виде

${(i^{4})}^{2}$ .

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) - 56 i \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cos^{4} (x) \sin^{4} (x) + 56 i \cos^{3} (x) \sin^{5} (x) - 28 \cos^{2} (x) \sin^{6} (x) - 8 \cos (x) i \sin^{7} (x) + {(i^{4})}^{2} \sin^{8} (x)$

Этап 4.1.36

Перепишем

$i^{4}$ в виде

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.36.1

Перепишем

$i^{4}$ в виде

${(i^{2})}^{2}$ .

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) - 56 i \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cos^{4} (x) \sin^{4} (x) + 56 i \cos^{3} (x) \sin^{5} (x) - 28 \cos^{2} (x) \sin^{6} (x) - 8 \cos (x) i \sin^{7} (x) + {({(i^{2})}^{2})}^{2} \sin^{8} (x)$

Этап 4.1.36.2

Перепишем

$i^{2}$ в виде

$- 1$ .

$\cos^{8} (x) + 8 \cos^{7} (x) i \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) - 56 i \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cos^{4} (x) \sin^{4} (x) + 56 i \cos^{3} (x) \sin^{5} (x) - 28 \cos^{2} (x) \sin^{6} (x) - 8 \cos (x) i \sin^{7} (x) + {({(- 1)}^{2})}^{2} \sin^{8} (x)$

Этап 4.1.36.3

Возведем

$- 1$ в степень

$2$ .

Этап 4.1.37

Единица в любой степени равна единице.

Этап 4.1.38

Умножим

$\sin^{8} (x)$ на

$1$ .

Этап 4.2

Изменим порядок множителей в

$\cos^{8} (x) + 8 i \cos^{7} (x) \sin (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) - 56 i \cos^{5} (x) \sin^{3} (x) + 70 \cos^{4} (x) \sin^{4} (x) + 56 i \cos^{3} (x) \sin^{5} (x) - 28 \cos^{2} (x) \sin^{6} (x) - 8 i \cos (x) \sin^{7} (x) + \sin^{8} (x)$

Этап 5

Вынесем выражения с мнимой частью, которые равны

$\cos (8 x)$ . Избавимся от мнимого числа

$i$ .

$\cos (8 x) = \cos^{8} (x) - 28 \cos^{6} (x) \sin^{2} (x) + 70 \cos^{4} (x) \sin^{4} (x) - 28 \cos^{2} (x) \sin^{6} (x) + \sin^{8} (x)$

Введите СВОЮ задачу