Тригонометрия Примеры

{(z - 3)}^{3} = 2 i

${(z - 3)}^{3} = 2 i$

Этап 1

Подставим

u

$u$ вместо

z - 3

$z - 3$ .

u^{3} = 2 i

$u^{3} = 2 i$

Этап 2

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где

| z |

$| z |$ — модуль, а

θ

$θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

z = a + b i = | z | (cos (θ) + i sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 3

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где

z = a + b i

$z = a + b i$

Этап 4

Подставим фактические значения

a = 0

$a = 0$ и

b = 2

$b = 2$ .

| z | = \sqrt{2^{2}}

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Этап 5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

| z | = 2

$| z | = 2$

Этап 6

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

θ = arctan (\frac{2}{0})

$θ = \arctan (\frac{2}{0})$

Этап 7

Поскольку аргумент не определен и

b

$b$ имеет положительное значение, угол точки на комплексной плоскости равен

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

θ = \frac{π}{2}

$θ = \frac{π}{2}$

Этап 8

Подставим значения

θ = \frac{π}{2}

$θ = \frac{π}{2}$ и

| z | = 2

$| z | = 2$ .

2 (cos (\frac{π}{2}) + i sin (\frac{π}{2}))

$2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 9

Заменим правую часть уравнения на тригонометрическую формулу.

u^{3} = 2 (cos (\frac{π}{2}) + i sin (\frac{π}{2}))

$u^{3} = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 10

Используем формулу Муавра, чтобы найти уравнение для

u

$u$ .

r^{3} (c o s (3 θ) + i s i n (3 θ)) = 2 i = 2 (cos (\frac{π}{2}) + i sin (\frac{π}{2}))

$r^{3} (c o s (3 θ) + i s i n (3 θ)) = 2 i = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 11

Приравняем модуль тригонометрической формы к

r^{3}

$r^{3}$ , чтобы найти значение

r

$r$ .

r^{3} = 2

$r^{3} = 2$

Этап 12

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

r = \sqrt[3]{2}

$r = \sqrt[3]{2}$

Этап 13

Найдем приблизительное значение

r

$r$ .

r = 1.25992104

$r = 1.25992104$

Этап 14

Найдем возможные значения

θ

$θ$ .

c o s (3 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)

$c o s (3 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)$ и

s i n (3 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)

$s i n (3 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)$

Этап 15

Нахождение всех возможных значений

θ

$θ$ приводит к уравнению

3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ .

3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$

Этап 16

Найдем значение

θ

$θ$ для

r = 0

$r = 0$ .

3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)$

Этап 17

Решим уравнение относительно

θ

$θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Умножим

2 π (0)

$2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1.1

Умножим

0

$0$ на

2

$2$ .

3 θ = \frac{π}{2} + 0 π

$3 θ = \frac{π}{2} + 0 π$

Этап 17.1.1.2

Умножим

0

$0$ на

π

$π$ .

3 θ = \frac{π}{2} + 0

$3 θ = \frac{π}{2} + 0$

3 θ = \frac{π}{2} + 0

$3 θ = \frac{π}{2} + 0$

Этап 17.1.2

Добавим

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ и

0

$0$ .

3 θ = \frac{π}{2}

$3 θ = \frac{π}{2}$

3 θ = \frac{π}{2}

$3 θ = \frac{π}{2}$

Этап 17.2

Разделим каждый член

3 θ = \frac{π}{2}

$3 θ = \frac{π}{2}$ на

3

$3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Разделим каждый член

3 θ = \frac{π}{2}

$3 θ = \frac{π}{2}$ на

3

$3$ .

\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Этап 17.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.2.1

Сократим общий множитель

3

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Этап 17.2.2.1.2

Разделим

$θ$ на

$1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Этап 17.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 17.2.3.2

Умножим

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.2.1

Умножим

$\frac{π}{2}$ на

$\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Этап 17.2.3.2.2

Умножим

$2$ на

$3$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Этап 18

Используем значения

$θ$ и

$r$ , чтобы найти решение уравнения

$u^{3} = 2 i$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 19

Преобразуем решение, используя алгебраическую форму комплексного числа.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.1

Точное значение

$\cos (\frac{π}{6})$ :

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 19.1.2

Точное значение

$\sin (\frac{π}{6})$ :

$\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

Этап 19.1.3

Объединим

$i$ и

$\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Этап 19.2

Применим свойство дистрибутивности.

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Этап 19.3

Умножим

$1.25992104 \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.1

Объединим

$1.25992104$ и

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{0} = \frac{1.25992104 \sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Этап 19.3.2

Умножим

$1.25992104$ на

$\sqrt{3}$ .

$u_{0} = \frac{2.18224727}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Этап 19.4

Объединим

$1.25992104$ и

$\frac{i}{2}$ .

$u_{0} = \frac{2.18224727}{2} + \frac{1.25992104 i}{2}$

Этап 19.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.5.1

Разделим

$2.18224727$ на

$2$ .

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 i}{2}$

Этап 19.5.2

Вынесем множитель

$1.25992104$ из

$1.25992104 i$ .

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2}$

Этап 19.5.3

Вынесем множитель

$2$ из

$2$ .

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2 (1)}$

Этап 19.5.4

Разделим дроби.

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104}{2} \cdot \frac{i}{1}$

Этап 19.5.5

Разделим

$1.25992104$ на

$2$ .

$u_{0} = 1.09112363 + 0.62996052 (\frac{i}{1})$

Этап 19.5.6

Разделим

$i$ на

$1$ .

$u_{0} = 1.09112363 + 0.62996052 i$

Этап 20

Подставим

$z - 3$ вместо

$u$ , чтобы вычислить значение

$z$ после сдвига вправо.

$z_{0} = 3 + 1.09112363 + 0.62996052 i$

Этап 21

Найдем значение

$θ$ для

$r = 1$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (1)$

Этап 22

Решим уравнение относительно

$θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1.1

Умножим

$2$ на

$1$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 22.1.2

Чтобы записать

$2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

Этап 22.1.3

Объединим

$2 π$ и

$\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

Этап 22.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 θ = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

Этап 22.1.5

Умножим

$2$ на

$2$ .

$3 θ = \frac{π + 4 π}{2}$

Этап 22.1.6

Добавим

$π$ и

$4 π$ .

$3 θ = \frac{5 π}{2}$

Этап 22.2

Разделим каждый член

$3 θ = \frac{5 π}{2}$ на

$3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.1

Разделим каждый член

$3 θ = \frac{5 π}{2}$ на

$3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Этап 22.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.2.1

Сократим общий множитель

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Этап 22.2.2.1.2

Разделим

$θ$ на

$1$ .

$θ = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Этап 22.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 22.2.3.2

Умножим

$\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.3.2.1

Умножим

$\frac{5 π}{2}$ на

$\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

Этап 22.2.3.2.2

Умножим

$2$ на

$3$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Этап 23

Используем значения

$θ$ и

$r$ , чтобы найти решение уравнения

$u^{3} = 2 i$ .

$u_{1} = 1.25992104 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

Этап 24

Преобразуем решение, используя алгебраическую форму комплексного числа.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$u_{1} = 1.25992104 (- \cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

Этап 24.1.2

Точное значение

$\cos (\frac{π}{6})$ :

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

Этап 24.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 24.1.4

Точное значение

$\sin (\frac{π}{6})$ :

$\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

Этап 24.1.5

Объединим

$i$ и

$\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Этап 24.2

Применим свойство дистрибутивности.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Этап 24.3

Умножим

$1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.3.1

Умножим

$- 1$ на

$1.25992104$ .

$u_{1} = - 1.25992104 \frac{\sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Этап 24.3.2

Объединим

$- 1.25992104$ и

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{- 1.25992104 \sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Этап 24.3.3

Умножим

$- 1.25992104$ на

$\sqrt{3}$ .

$u_{1} = \frac{- 2.18224727}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Этап 24.4

Объединим

$1.25992104$ и

$\frac{i}{2}$ .

$u_{1} = \frac{- 2.18224727}{2} + \frac{1.25992104 i}{2}$

Этап 24.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.5.1

Разделим

$- 2.18224727$ на

$2$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 i}{2}$

Этап 24.5.2

Вынесем множитель

$1.25992104$ из

$1.25992104 i$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2}$

Этап 24.5.3

Вынесем множитель

$2$ из

$2$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2 (1)}$

Этап 24.5.4

Разделим дроби.

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104}{2} \cdot \frac{i}{1}$

Этап 24.5.5

Разделим

$1.25992104$ на

$2$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + 0.62996052 (\frac{i}{1})$

Этап 24.5.6

Разделим

$i$ на

$1$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + 0.62996052 i$

Этап 25

Подставим

$z - 3$ вместо

$u$ , чтобы вычислить значение

$z$ после сдвига вправо.

$z_{1} = 3 - 1.09112363 + 0.62996052 i$

Этап 26

Найдем значение

$θ$ для

$r = 2$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (2)$

Этап 27

Решим уравнение относительно

$θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.1.1

Умножим

$2$ на

$2$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 4 π$

Этап 27.1.2

Чтобы записать

$4 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2}$

Этап 27.1.3

Объединим

$4 π$ и

$\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

Этап 27.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 θ = \frac{π + 4 π \cdot 2}{2}$

Этап 27.1.5

Умножим

$2$ на

$4$ .

$3 θ = \frac{π + 8 π}{2}$

Этап 27.1.6

Добавим

$π$ и

$8 π$ .

$3 θ = \frac{9 π}{2}$

Этап 27.2

Разделим каждый член

$3 θ = \frac{9 π}{2}$ на

$3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.1

Разделим каждый член

$3 θ = \frac{9 π}{2}$ на

$3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

Этап 27.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.2.1

Сократим общий множитель

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

Этап 27.2.2.1.2

Разделим

$θ$ на

$1$ .

$θ = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

Этап 27.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 27.2.3.2

Сократим общий множитель

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.3.2.1

Вынесем множитель

$3$ из

$9 π$ .

$θ = \frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 27.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$θ = \frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 27.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \frac{3 π}{2}$

Этап 28

Используем значения

$θ$ и

$r$ , чтобы найти решение уравнения

$u^{3} = 2 i$ .

$u_{2} = 1.25992104 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Этап 29

Преобразуем решение, используя алгебраическую форму комплексного числа.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$u_{2} = 1.25992104 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Этап 29.1.2

Точное значение

$\cos (\frac{π}{2})$ :

$0$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Этап 29.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i (- \sin (\frac{π}{2})))$

Этап 29.1.4

Точное значение

$\sin (\frac{π}{2})$ :

$1$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i (- 1 \cdot 1))$

Этап 29.1.5

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i \cdot - 1)$

Этап 29.1.6

Перенесем

$- 1$ влево от

$i$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 - 1 \cdot i)$

Этап 29.1.7

Перепишем

$- 1 i$ в виде

$- i$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 - i)$

Этап 29.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.2.1

Вычтем

$i$ из

$0$ .

$u_{2} = 1.25992104 (- i)$

Этап 29.2.2

Умножим

$- 1$ на

$1.25992104$ .

$u_{2} = - 1.25992104 i$

Этап 30

Подставим

$z - 3$ вместо

$u$ , чтобы вычислить значение

$z$ после сдвига вправо.

$z_{2} = 3 - 1.25992104 i$

Этап 31

Это комплексные решения

$u^{3} = 2 i$ .

$z_{0} = 4.09112363 + 0.62996052 i$

$z_{1} = 1.90887636 + 0.62996052 i$

$z_{2} = 3 - 1.25992104 i$

Введите СВОЮ задачу