Тригонометрия Примеры

$32 + 32 i \sqrt{3}$ , $n = 3$

Этап 1

Вычислим расстояние от $(a, b)$ до начала координат, используя формулу $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{32^{2} + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$

Этап 2

Упростим $\sqrt{32^{2} + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возведем $32$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{1024 + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$

Этап 2.1.2

Перенесем $32$ влево от $\sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{1024 + {(32 \cdot \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 2.1.3

Применим правило умножения к $32 \sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{1024 + 32^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 2.1.4

Возведем $32$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{1024 + 1024 {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 2.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{1024 + 1024 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{1}}$

Этап 2.2.5

Найдем экспоненту.

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3}$

Этап 2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $1024$ на $3$ .

$r = \sqrt{1024 + 3072}$

Этап 2.3.2

Добавим $1024$ и $3072$ .

$r = \sqrt{4096}$

Этап 2.3.3

Перепишем $4096$ в виде $64^{2}$ .

$r = \sqrt{64^{2}}$

Этап 2.3.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$r = 64$

Этап 3

Вычислим угол приведения $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$

Этап 4

Упростим $\arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Сократим общий множитель.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$

Этап 4.1.2

Разделим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \sqrt{3} |)$

Этап 4.2

$\sqrt{3}$ приблизительно равно $1.7320508$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$θ̂ = \arctan (\sqrt{3})$

Этап 4.3

Точное значение $\arctan (\sqrt{3})$ : $\frac{π}{3}$ .

$θ̂ = \frac{π}{3}$

Этап 5

Найдем квадрант.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем $32$ влево от $\sqrt{3}$ .

$(32, 32 \sqrt{3})$

Этап 5.2

Точка расположена в первом квадранте, поскольку и $x$ , и $y$ принимают положительные значения. Квадранты обозначены в порядке против часовой стрелки, начиная с верхнего правого.

Квадрант $1$

Этап 6

$(a, b)$ находится в первом квадранте. $θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{3}$

Этап 7

Используем формулу, чтобы найти корни комплексного числа.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Этап 8

Подставим $r$ , $n$ и $θ$ в формулу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим ${(64)}^{\frac{1}{3}}$ и $\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)}{3}$

Этап 8.2

Объединим $c$ и $\frac{{(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))}{3}$

Этап 8.3

Объединим $i$ и $\frac{c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)))}{3}$

Этап 8.4

Объединим $s$ и $\frac{i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))))}{3}$

Этап 8.5

Избавимся от скобок.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c (64^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))))}{3}$

Этап 8.5.2

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c (64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k))))}{3}$

Этап 8.5.3

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)))}{3}$

Этап 8.5.4

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c \cdot 64^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{3} + 2 π k))}{3}$

Этап 8.5.5

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k))}{3}$

Этап 8.5.6

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c \cdot 64^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

Этап 8.5.7

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c) \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

Этап 8.5.8

Избавимся от скобок.

$\frac{s i c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

Этап 9

Подставим $k = 0$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

$k = 0 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Этап 9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 0 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Этап 9.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сократим общий множитель.

$k = 0 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Этап 9.3.2

Перепишем это выражение.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Этап 9.4

Найдем экспоненту.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Этап 9.5

Умножим $2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Умножим $0$ на $2$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 0 π}{3})$

Этап 9.5.2

Умножим $0$ на $π$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 0}{3})$

Этап 9.6

Добавим $\frac{π}{3}$ и $0$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3}}{3})$

Этап 9.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 9.8

Умножим $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{3 \cdot 3})$

Этап 9.8.2

Умножим $3$ на $3$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{9})$

Этап 10

Подставим $k = 1$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

$k = 1 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Этап 10.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 1 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Этап 10.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Сократим общий множитель.

$k = 1 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Этап 10.3.2

Перепишем это выражение.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Этап 10.4

Найдем экспоненту.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Этап 10.5

Умножим $2$ на $1$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 2 π}{3})$

Этап 10.6

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 2 π \cdot \frac{3}{3}}{3})$

Этап 10.7

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + \frac{2 π \cdot 3}{3}}{3})$

Этап 10.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 3}{3}}{3})$

Этап 10.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.1

Умножим $3$ на $2$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 6 π}{3}}{3})$

Этап 10.9.2

Добавим $π$ и $6 π$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{7 π}{3}}{3})$

Этап 10.10

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 10.11

Умножим $\frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.11.1

Умножим $\frac{7 π}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{3 \cdot 3})$

Этап 10.11.2

Умножим $3$ на $3$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{9})$

Этап 11

Подставим $k = 2$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

$k = 2 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Этап 11.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 2 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Этап 11.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Сократим общий множитель.

$k = 2 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Этап 11.3.2

Перепишем это выражение.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Этап 11.4

Найдем экспоненту.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Этап 11.5

Умножим $2$ на $2$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 4 π}{3})$

Этап 11.6

Чтобы записать $4 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 4 π \cdot \frac{3}{3}}{3})$

Этап 11.7

Объединим $4 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + \frac{4 π \cdot 3}{3}}{3})$

Этап 11.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 4 π \cdot 3}{3}}{3})$

Этап 11.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.1

Умножим $3$ на $4$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 12 π}{3}}{3})$

Этап 11.9.2

Добавим $π$ и $12 π$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{13 π}{3}}{3})$

Этап 11.10

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 11.11

Умножим $\frac{13 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.11.1

Умножим $\frac{13 π}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{3 \cdot 3})$

Этап 11.11.2

Умножим $3$ на $3$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{9})$

Этап 12

Перечислим решения.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{9})$

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{9})$

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{9})$

Введите СВОЮ задачу