Статистика Примеры

\begin{array}{c} x & P (x) \\ 6 & 0.3 \\ 9 & 0.4 \\ 13 & 0.3 \end{array}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 6 & 0.3 \\ 9 & 0.4 \\ 13 & 0.3 \end{array}$

Этап 1

Докажем, что данная таблица удовлетворяет двум свойствам, необходимым для распределения вероятностей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Дискретная случайная переменная

x

$x$ принимает множество отдельных значений (таких как

0

$0$ ,

1

$1$ ,

2

$2$ ...). Ее распределение вероятности присваивает вероятность

P (x)

$P (x)$ каждому возможному значению

x

$x$ . Для каждого

x

$x$ вероятность

P (x)

$P (x)$ находится между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, а сумма вероятностей для всех возможных значений

x

$x$ равна

1

$1$ .

1. Для каждого

x

$x$ ,

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ .

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Этап 1.2

0.3

$0.3$ принимает значение между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

0.3

$0.3$ принимает значения между

0

$0$ и

1

$1$ включительно.

Этап 1.3

0.4

$0.4$ принимает значение между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

0.4

$0.4$ принимает значения между

0

$0$ и

1

$1$ включительно.

Этап 1.4

0.3

$0.3$ принимает значение между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

0.3

$0.3$ принимает значения между

0

$0$ и

1

$1$ включительно.

Этап 1.5

Для каждого

x

$x$ вероятность

P (x)

$P (x)$ находится между

0

$0$ и

1

$1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений x

Этап 1.6

Найдем сумму вероятностей для всех возможных значений

x

$x$ .

0.3 + 0.4 + 0.3

$0.3 + 0.4 + 0.3$

Этап 1.7

Сумма вероятностей для всех возможных значений

x

$x$ равна

0.3 + 0.4 + 0.3 = 1

$0.3 + 0.4 + 0.3 = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Добавим

0.3

$0.3$ и

0.4

$0.4$ .

0.7 + 0.3

$0.7 + 0.3$

Этап 1.7.2

Добавим

0.7

$0.7$ и

0.3

$0.3$ .

1

$1$

1

$1$

Этап 1.8

Для каждого

x

$x$ вероятность

P (x)

$P (x)$ находится между

0

$0$ и

1

$1$ включительно. Кроме того, сумма вероятностей для всех возможных значений

x

$x$ равна

1

$1$ . Это означает, что данная таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей.

Таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей:

Свойство 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений

x

$x$

Свойство 2:

0.3 + 0.4 + 0.3 = 1

$0.3 + 0.4 + 0.3 = 1$

Таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей:

Свойство 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений

x

$x$

Свойство 2:

0.3 + 0.4 + 0.3 = 1

$0.3 + 0.4 + 0.3 = 1$

Этап 2

Математическое ожидание распределения ― это ожидаемое значение при стремлении числа испытаний к бесконечности. Оно равно каждому значению, умноженному на его дискретную вероятность.

u = 6 \cdot 0.3 + 9 \cdot 0.4 + 13 \cdot 0.3

$u = 6 \cdot 0.3 + 9 \cdot 0.4 + 13 \cdot 0.3$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим

6

$6$ на

0.3

$0.3$ .

u = 1.8 + 9 \cdot 0.4 + 13 \cdot 0.3

$u = 1.8 + 9 \cdot 0.4 + 13 \cdot 0.3$

Этап 3.2

Умножим

9

$9$ на

0.4

$0.4$ .

u = 1.8 + 3.6 + 13 \cdot 0.3

$u = 1.8 + 3.6 + 13 \cdot 0.3$

Этап 3.3

Умножим

13

$13$ на

0.3

$0.3$ .

u = 1.8 + 3.6 + 3.9

$u = 1.8 + 3.6 + 3.9$

u = 1.8 + 3.6 + 3.9

$u = 1.8 + 3.6 + 3.9$

Этап 4

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим

1.8

$1.8$ и

3.6

$3.6$ .

u = 5.4 + 3.9

$u = 5.4 + 3.9$

Этап 4.2

Добавим

5.4

$5.4$ и

3.9

$3.9$ .

u = 9.3

$u = 9.3$

u = 9.3

$u = 9.3$

Этап 5

Дисперсия распределения ― это мера разброса. Она равна квадрату стандартного отклонения.

s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

Этап 6

Подставим известные значения.

{(6 - (9.3))}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (9.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(13 - (9.3))}^{2} \cdot 0.3

${(6 - (9.3))}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (9.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(13 - (9.3))}^{2} \cdot 0.3$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

9.3

$9.3$ .

{(6 - 9.3)}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (9.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(13 - (9.3))}^{2} \cdot 0.3

${(6 - 9.3)}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (9.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(13 - (9.3))}^{2} \cdot 0.3$

Этап 7.1.2

Вычтем

9.3

$9.3$ из

6

$6$ .

{(- 3.3)}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (9.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(13 - (9.3))}^{2} \cdot 0.3

${(- 3.3)}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (9.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(13 - (9.3))}^{2} \cdot 0.3$

Этап 7.1.3

Возведем

- 3.3

$- 3.3$ в степень

2

$2$ .

10.89 \cdot 0.3 + {(9 - (9.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(13 - (9.3))}^{2} \cdot 0.3

$10.89 \cdot 0.3 + {(9 - (9.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(13 - (9.3))}^{2} \cdot 0.3$

Этап 7.1.4

Умножим

10.89

$10.89$ на

0.3

$0.3$ .

3.267 + {(9 - (9.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(13 - (9.3))}^{2} \cdot 0.3

$3.267 + {(9 - (9.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(13 - (9.3))}^{2} \cdot 0.3$

Этап 7.1.5

Умножим

- 1

$- 1$ на

9.3

$9.3$ .

3.267 + {(9 - 9.3)}^{2} \cdot 0.4 + {(13 - (9.3))}^{2} \cdot 0.3

$3.267 + {(9 - 9.3)}^{2} \cdot 0.4 + {(13 - (9.3))}^{2} \cdot 0.3$

Этап 7.1.6

Вычтем

9.3

$9.3$ из

9

$9$ .

3.267 + {(- 0.3)}^{2} \cdot 0.4 + {(13 - (9.3))}^{2} \cdot 0.3

$3.267 + {(- 0.3)}^{2} \cdot 0.4 + {(13 - (9.3))}^{2} \cdot 0.3$

Этап 7.1.7

Возведем

- 0.3

$- 0.3$ в степень

2

$2$ .

3.267 + 0.09 \cdot 0.4 + {(13 - (9.3))}^{2} \cdot 0.3

$3.267 + 0.09 \cdot 0.4 + {(13 - (9.3))}^{2} \cdot 0.3$

Этап 7.1.8

Умножим

0.09

$0.09$ на

0.4

$0.4$ .

3.267 + 0.036 + {(13 - (9.3))}^{2} \cdot 0.3

$3.267 + 0.036 + {(13 - (9.3))}^{2} \cdot 0.3$

Этап 7.1.9

Умножим

- 1

$- 1$ на

9.3

$9.3$ .

3.267 + 0.036 + {(13 - 9.3)}^{2} \cdot 0.3

$3.267 + 0.036 + {(13 - 9.3)}^{2} \cdot 0.3$

Этап 7.1.10

Вычтем

9.3

$9.3$ из

13

$13$ .

3.267 + 0.036 + {3.7}^{2} \cdot 0.3

$3.267 + 0.036 + {3.7}^{2} \cdot 0.3$

Этап 7.1.11

Возведем

3.7

$3.7$ в степень

2

$2$ .

3.267 + 0.036 + 13.69 \cdot 0.3

$3.267 + 0.036 + 13.69 \cdot 0.3$

Этап 7.1.12

Умножим

13.69

$13.69$ на

0.3

$0.3$ .

3.267 + 0.036 + 4.107

$3.267 + 0.036 + 4.107$

3.267 + 0.036 + 4.107

$3.267 + 0.036 + 4.107$

Этап 7.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим

3.267

$3.267$ и

0.036

$0.036$ .

3.303 + 4.107

$3.303 + 4.107$

Этап 7.2.2

Добавим

3.303

$3.303$ и

4.107

$4.107$ .

7.41

$7.41$

7.41

$7.41$

7.41

$7.41$

Введите СВОЮ задачу