Статистика Примеры

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 3 & 0.1 \\ 6 & 0.2 \\ 8 & 0.3 \\ 11 & 0.2 \\ 15 & 0.2 \end{array}$

Этап 1

Докажем, что данная таблица удовлетворяет двум свойствам, необходимым для распределения вероятностей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Дискретная случайная переменная $x$ принимает множество отдельных значений (таких как $0$ , $1$ , $2$ ...). Ее распределение вероятности присваивает вероятность $P (x)$ каждому возможному значению $x$ . Для каждого $x$ вероятность $P (x)$ находится между $0$ и $1$ включительно, а сумма вероятностей для всех возможных значений $x$ равна $1$ .

1. Для каждого $x$ , $0 \leq P (x) \leq 1$ .

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Этап 1.2

$0.1$ принимает значение между $0$ и $1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

$0.1$ принимает значения между $0$ и $1$ включительно.

Этап 1.3

$0.2$ принимает значение между $0$ и $1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

$0.2$ принимает значения между $0$ и $1$ включительно.

Этап 1.4

$0.3$ принимает значение между $0$ и $1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

$0.3$ принимает значения между $0$ и $1$ включительно.

Этап 1.5

$0.2$ принимает значения между $0$ и $1$ включительно.

Этап 1.6

Для каждого $x$ вероятность $P (x)$ находится между $0$ и $1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

$0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений x

Этап 1.7

Найдем сумму вероятностей для всех возможных значений $x$ .

$0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2$

Этап 1.8

Сумма вероятностей для всех возможных значений $x$ равна $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $0.1$ и $0.2$ .

$0.3 + 0.3 + 0.2 + 0.2$

Этап 1.8.2

Добавим $0.3$ и $0.3$ .

$0.6 + 0.2 + 0.2$

Этап 1.8.3

Добавим $0.6$ и $0.2$ .

$0.8 + 0.2$

Этап 1.8.4

Добавим $0.8$ и $0.2$ .

$1$

Этап 1.9

Для каждого $x$ вероятность $P (x)$ находится между $0$ и $1$ включительно. Кроме того, сумма вероятностей для всех возможных значений $x$ равна $1$ . Это означает, что данная таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей.

Таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей:

Свойство 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений $x$

Свойство 2: $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1$

Таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей:

Свойство 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений $x$

Свойство 2: $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1$

Этап 2

Математическое ожидание распределения ― это ожидаемое значение при стремлении числа испытаний к бесконечности. Оно равно каждому значению, умноженному на его дискретную вероятность.

$u = 3 \cdot 0.1 + 6 \cdot 0.2 + 8 \cdot 0.3 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $3$ на $0.1$ .

$u = 0.3 + 6 \cdot 0.2 + 8 \cdot 0.3 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2$

Этап 3.2

Умножим $6$ на $0.2$ .

$u = 0.3 + 1.2 + 8 \cdot 0.3 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2$

Этап 3.3

Умножим $8$ на $0.3$ .

$u = 0.3 + 1.2 + 2.4 + 11 \cdot 0.2 + 15 \cdot 0.2$

Этап 3.4

Умножим $11$ на $0.2$ .

$u = 0.3 + 1.2 + 2.4 + 2.2 + 15 \cdot 0.2$

Этап 3.5

Умножим $15$ на $0.2$ .

$u = 0.3 + 1.2 + 2.4 + 2.2 + 3$

Этап 4

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $0.3$ и $1.2$ .

$u = 1.5 + 2.4 + 2.2 + 3$

Этап 4.2

Добавим $1.5$ и $2.4$ .

$u = 3.9 + 2.2 + 3$

Этап 4.3

Добавим $3.9$ и $2.2$ .

$u = 6.1 + 3$

Этап 4.4

Добавим $6.1$ и $3$ .

$u = 9.1$

Этап 5

Дисперсия распределения ― это мера разброса. Она равна квадрату стандартного отклонения.

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

Этап 6

Подставим известные значения.

${(3 - (9.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $- 1$ на $9.1$ .

${(3 - 9.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Этап 7.1.2

Вычтем $9.1$ из $3$ .

${(- 6.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Этап 7.1.3

Возведем $- 6.1$ в степень $2$ .

$37.21 \cdot 0.1 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Этап 7.1.4

Умножим $37.21$ на $0.1$ .

$3.721 + {(6 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Этап 7.1.5

Умножим $- 1$ на $9.1$ .

$3.721 + {(6 - 9.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Этап 7.1.6

Вычтем $9.1$ из $6$ .

$3.721 + {(- 3.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Этап 7.1.7

Возведем $- 3.1$ в степень $2$ .

$3.721 + 9.61 \cdot 0.2 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Этап 7.1.8

Умножим $9.61$ на $0.2$ .

$3.721 + 1.922 + {(8 - (9.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Этап 7.1.9

Умножим $- 1$ на $9.1$ .

$3.721 + 1.922 + {(8 - 9.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Этап 7.1.10

Вычтем $9.1$ из $8$ .

$3.721 + 1.922 + {(- 1.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Этап 7.1.11

Возведем $- 1.1$ в степень $2$ .

$3.721 + 1.922 + 1.21 \cdot 0.3 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Этап 7.1.12

Умножим $1.21$ на $0.3$ .

$3.721 + 1.922 + 0.363 + {(11 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Этап 7.1.13

Умножим $- 1$ на $9.1$ .

$3.721 + 1.922 + 0.363 + {(11 - 9.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Этап 7.1.14

Вычтем $9.1$ из $11$ .

$3.721 + 1.922 + 0.363 + {1.9}^{2} \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Этап 7.1.15

Возведем $1.9$ в степень $2$ .

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 3.61 \cdot 0.2 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Этап 7.1.16

Умножим $3.61$ на $0.2$ .

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + {(15 - (9.1))}^{2} \cdot 0.2$

Этап 7.1.17

Умножим $- 1$ на $9.1$ .

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + {(15 - 9.1)}^{2} \cdot 0.2$

Этап 7.1.18

Вычтем $9.1$ из $15$ .

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + {5.9}^{2} \cdot 0.2$

Этап 7.1.19

Возведем $5.9$ в степень $2$ .

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + 34.81 \cdot 0.2$

Этап 7.1.20

Умножим $34.81$ на $0.2$ .

$3.721 + 1.922 + 0.363 + 0.722 + 6.962$

Этап 7.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $3.721$ и $1.922$ .

$5.643 + 0.363 + 0.722 + 6.962$

Этап 7.2.2

Добавим $5.643$ и $0.363$ .

$6.006 + 0.722 + 6.962$

Этап 7.2.3

Добавим $6.006$ и $0.722$ .

$6.728 + 6.962$

Этап 7.2.4

Добавим $6.728$ и $6.962$ .

$13.69$

Введите СВОЮ задачу