Статистика Примеры

\begin{array}{c} Класс & Частота \\ 10 - 14 & 1 \\ 15 - 19 & 3 \\ 20 - 24 & 9 \\ 25 - 29 & 2 \end{array}

$\begin{array}{c} Класс & Частота \\ 10 - 14 & 1 \\ 15 - 19 & 3 \\ 20 - 24 & 9 \\ 25 - 29 & 2 \end{array}$

Этап 1

Найдем среднюю точку

M

$M$ для каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нижний предел для каждого класса является наименьшим значением в этом классе. С другой стороны, верхний предел для каждого класса является наибольшим значением в этом классе.

\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits \\ 10 - 14 & 1 & 10 & 14 \\ 15 - 19 & 3 & 15 & 19 \\ 20 - 24 & 9 & 20 & 24 \\ 25 - 29 & 2 & 25 & 29 \end{array}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits \\ 10 - 14 & 1 & 10 & 14 \\ 15 - 19 & 3 & 15 & 19 \\ 20 - 24 & 9 & 20 & 24 \\ 25 - 29 & 2 & 25 & 29 \end{array}$

Этап 1.2

Средняя точка класса ― это сумма нижнего и верхнего пределов класса, поделенная на

2

$2$ .

\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 10 - 14 & 1 & 10 & 14 & \frac{10 + 14}{2} \\ 15 - 19 & 3 & 15 & 19 & \frac{15 + 19}{2} \\ 20 - 24 & 9 & 20 & 24 & \frac{20 + 24}{2} \\ 25 - 29 & 2 & 25 & 29 & \frac{25 + 29}{2} \end{array}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 10 - 14 & 1 & 10 & 14 & \frac{10 + 14}{2} \\ 15 - 19 & 3 & 15 & 19 & \frac{15 + 19}{2} \\ 20 - 24 & 9 & 20 & 24 & \frac{20 + 24}{2} \\ 25 - 29 & 2 & 25 & 29 & \frac{25 + 29}{2} \end{array}$

Этап 1.3

Упростим весь средний столбец.

\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 10 - 14 & 1 & 10 & 14 & 12 \\ 15 - 19 & 3 & 15 & 19 & 17 \\ 20 - 24 & 9 & 20 & 24 & 22 \\ 25 - 29 & 2 & 25 & 29 & 27 \end{array}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 10 - 14 & 1 & 10 & 14 & 12 \\ 15 - 19 & 3 & 15 & 19 & 17 \\ 20 - 24 & 9 & 20 & 24 & 22 \\ 25 - 29 & 2 & 25 & 29 & 27 \end{array}$

Этап 1.4

Добавим столбец средних точек в исходную таблицу.

\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 10 - 14 & 1 & 12 \\ 15 - 19 & 3 & 17 \\ 20 - 24 & 9 & 22 \\ 25 - 29 & 2 & 27 \end{array}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 10 - 14 & 1 & 12 \\ 15 - 19 & 3 & 17 \\ 20 - 24 & 9 & 22 \\ 25 - 29 & 2 & 27 \end{array}$

\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 10 - 14 & 1 & 12 \\ 15 - 19 & 3 & 17 \\ 20 - 24 & 9 & 22 \\ 25 - 29 & 2 & 27 \end{array}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 10 - 14 & 1 & 12 \\ 15 - 19 & 3 & 17 \\ 20 - 24 & 9 & 22 \\ 25 - 29 & 2 & 27 \end{array}$

Этап 2

Вычислим квадрат средней точки каждой группы

M^{2}

$M^{2}$ .

\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 10 - 14 & 1 & 12 & 12^{2} \\ 15 - 19 & 3 & 17 & 17^{2} \\ 20 - 24 & 9 & 22 & 22^{2} \\ 25 - 29 & 2 & 27 & 27^{2} \end{array}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 10 - 14 & 1 & 12 & 12^{2} \\ 15 - 19 & 3 & 17 & 17^{2} \\ 20 - 24 & 9 & 22 & 22^{2} \\ 25 - 29 & 2 & 27 & 27^{2} \end{array}$

Этап 3

Упростим столбец

M^{2}

$M^{2}$ .

\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 10 - 14 & 1 & 12 & 144 \\ 15 - 19 & 3 & 17 & 289 \\ 20 - 24 & 9 & 22 & 484 \\ 25 - 29 & 2 & 27 & 729 \end{array}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 10 - 14 & 1 & 12 & 144 \\ 15 - 19 & 3 & 17 & 289 \\ 20 - 24 & 9 & 22 & 484 \\ 25 - 29 & 2 & 27 & 729 \end{array}$

Этап 4

Умножим квадрат каждой средней точки на ее частоту

f

$f$ .

\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 10 - 14 & 1 & 12 & 144 & 1 \cdot 144 \\ 15 - 19 & 3 & 17 & 289 & 3 \cdot 289 \\ 20 - 24 & 9 & 22 & 484 & 9 \cdot 484 \\ 25 - 29 & 2 & 27 & 729 & 2 \cdot 729 \end{array}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 10 - 14 & 1 & 12 & 144 & 1 \cdot 144 \\ 15 - 19 & 3 & 17 & 289 & 3 \cdot 289 \\ 20 - 24 & 9 & 22 & 484 & 9 \cdot 484 \\ 25 - 29 & 2 & 27 & 729 & 2 \cdot 729 \end{array}$

Этап 5

Упростим столбец

f \cdot M^{2}

$f \cdot M^{2}$ .

\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 10 - 14 & 1 & 12 & 144 & 144 \\ 15 - 19 & 3 & 17 & 289 & 867 \\ 20 - 24 & 9 & 22 & 484 & 4356 \\ 25 - 29 & 2 & 27 & 729 & 1458 \end{array}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 10 - 14 & 1 & 12 & 144 & 144 \\ 15 - 19 & 3 & 17 & 289 & 867 \\ 20 - 24 & 9 & 22 & 484 & 4356 \\ 25 - 29 & 2 & 27 & 729 & 1458 \end{array}$

Этап 6

Найдем сумму всех частот. В этом случае сумма всех частот равна

n = 1, 3, 9, 2 = 15

$n = 1, 3, 9, 2 = 15$ .

\sum_{}^{} f = n = 15

$\sum_{}^{} f = n = 15$

Этап 7

Найдем сумму значений столбца

f \cdot M^{2}

$f \cdot M^{2}$ . В этом случае

144 + 867 + 4356 + 1458 = 6825

$144 + 867 + 4356 + 1458 = 6825$ .

\sum_{}^{} f \cdot M^{2} = 6825

$\sum_{}^{} f \cdot M^{2} = 6825$

Этап 8

Найдем среднее значение

μ

$μ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем среднюю точку

M

$M$ для каждого класса.

\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 10 - 14 & 1 & 12 \\ 15 - 19 & 3 & 17 \\ 20 - 24 & 9 & 22 \\ 25 - 29 & 2 & 27 \end{array}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 10 - 14 & 1 & 12 \\ 15 - 19 & 3 & 17 \\ 20 - 24 & 9 & 22 \\ 25 - 29 & 2 & 27 \end{array}$

Этап 8.2

Умножим частоту каждого класса на среднюю точку класса.

\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 10 - 14 & 1 & 12 & 1 \cdot 12 \\ 15 - 19 & 3 & 17 & 3 \cdot 17 \\ 20 - 24 & 9 & 22 & 9 \cdot 22 \\ 25 - 29 & 2 & 27 & 2 \cdot 27 \end{array}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 10 - 14 & 1 & 12 & 1 \cdot 12 \\ 15 - 19 & 3 & 17 & 3 \cdot 17 \\ 20 - 24 & 9 & 22 & 9 \cdot 22 \\ 25 - 29 & 2 & 27 & 2 \cdot 27 \end{array}$

Этап 8.3

Упростим столбец

f \cdot M

$f \cdot M$ .

\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 10 - 14 & 1 & 12 & 12 \\ 15 - 19 & 3 & 17 & 51 \\ 20 - 24 & 9 & 22 & 198 \\ 25 - 29 & 2 & 27 & 54 \end{array}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 10 - 14 & 1 & 12 & 12 \\ 15 - 19 & 3 & 17 & 51 \\ 20 - 24 & 9 & 22 & 198 \\ 25 - 29 & 2 & 27 & 54 \end{array}$

Этап 8.4

Сложим значения в столбце

f \cdot M

$f \cdot M$ .

12 + 51 + 198 + 54 = 315

$12 + 51 + 198 + 54 = 315$

Этап 8.5

Сложим значения в столбце частот.

n = 1 + 3 + 9 + 2 = 15

$n = 1 + 3 + 9 + 2 = 15$

Этап 8.6

Среднее значение (mu) представляет собой сумму

f \cdot M

$f \cdot M$ , деленную на

n

$n$ , которая является суммой частот.

μ = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M}{\sum_{}^{} f}

$μ = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M}{\sum_{}^{} f}$

Этап 8.7

Среднее значение ― это сумма средних точек, умноженных на частоту, деленная на сумму частот.

μ = \frac{315}{15}

$μ = \frac{315}{15}$

Этап 8.8

Упростим правую часть

μ = \frac{315}{15}

$μ = \frac{315}{15}$ .

21

$21$

21

$21$

Этап 9

Уравнение стандартного отклонения:

S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ .

S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$

Этап 10

Подставим вычисленные значения в

S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ .

S^{2} = \frac{6825 - 15 {(21)}^{2}}{15 - 1}

$S^{2} = \frac{6825 - 15 {(21)}^{2}}{15 - 1}$

Этап 11

Упростим правую часть

S^{2} = \frac{6825 - 15 {(21)}^{2}}{15 - 1}

$S^{2} = \frac{6825 - 15 {(21)}^{2}}{15 - 1}$ , чтобы получить дисперсию

S^{2} = 15

$S^{2} = 15$ .

15

$15$

Этап 12

Стандартное отклонение представляет собой квадратный корень из дисперсии

15

$15$ . В данном случае стандартное отклонение равно

3.87298334

$3.87298334$ .

3.87298334

$3.87298334$

Введите СВОЮ задачу