Статистика Примеры

\begin{matrix} Class & Frequency 10 - 13 & 1 14 - 17 & 3 18 - 21 & 4 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency \\ 10 - 13 & 1 \\ 14 - 17 & 3 \\ 18 - 21 & 4 \end{array}$

Этап 1

Найдем среднюю точку

M

$M$ для каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нижний предел для каждого класса является наименьшим значением в этом классе. С другой стороны, верхний предел для каждого класса является наибольшим значением в этом классе.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits 10 - 13 & 1 & 10 & 13 14 - 17 & 3 & 14 & 17 18 - 21 & 4 & 18 & 21 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits \\ 10 - 13 & 1 & 10 & 13 \\ 14 - 17 & 3 & 14 & 17 \\ 18 - 21 & 4 & 18 & 21 \end{array}$

Этап 1.2

Средняя точка класса ― это сумма нижнего и верхнего пределов класса, поделенная на

2

$2$ .

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) 10 - 13 & 1 & 10 & 13 & \frac{10 + 13}{2} 14 - 17 & 3 & 14 & 17 & \frac{14 + 17}{2} 18 - 21 & 4 & 18 & 21 & \frac{18 + 21}{2} \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 10 - 13 & 1 & 10 & 13 & \frac{10 + 13}{2} \\ 14 - 17 & 3 & 14 & 17 & \frac{14 + 17}{2} \\ 18 - 21 & 4 & 18 & 21 & \frac{18 + 21}{2} \end{array}$

Этап 1.3

Упростим весь средний столбец.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) 10 - 13 & 1 & 10 & 13 & 11.5 14 - 17 & 3 & 14 & 17 & 15.5 18 - 21 & 4 & 18 & 21 & 19.5 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 10 - 13 & 1 & 10 & 13 & 11.5 \\ 14 - 17 & 3 & 14 & 17 & 15.5 \\ 18 - 21 & 4 & 18 & 21 & 19.5 \end{array}$

Этап 1.4

Добавим столбец средних точек в исходную таблицу.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) 10 - 13 & 1 & 11.5 14 - 17 & 3 & 15.5 18 - 21 & 4 & 19.5 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 10 - 13 & 1 & 11.5 \\ 14 - 17 & 3 & 15.5 \\ 18 - 21 & 4 & 19.5 \end{array}$

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) 10 - 13 & 1 & 11.5 14 - 17 & 3 & 15.5 18 - 21 & 4 & 19.5 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 10 - 13 & 1 & 11.5 \\ 14 - 17 & 3 & 15.5 \\ 18 - 21 & 4 & 19.5 \end{array}$

Этап 2

Вычислим квадрат средней точки каждой группы

M^{2}

$M^{2}$ .

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} 10 - 13 & 1 & 11.5 & {11.5}^{2} 14 - 17 & 3 & 15.5 & {15.5}^{2} 18 - 21 & 4 & 19.5 & {19.5}^{2} \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 10 - 13 & 1 & 11.5 & {11.5}^{2} \\ 14 - 17 & 3 & 15.5 & {15.5}^{2} \\ 18 - 21 & 4 & 19.5 & {19.5}^{2} \end{array}$

Этап 3

Упростим столбец

M^{2}

$M^{2}$ .

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} 10 - 13 & 1 & 11.5 & 132.25 14 - 17 & 3 & 15.5 & 240.25 18 - 21 & 4 & 19.5 & 380.25 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 10 - 13 & 1 & 11.5 & 132.25 \\ 14 - 17 & 3 & 15.5 & 240.25 \\ 18 - 21 & 4 & 19.5 & 380.25 \end{array}$

Этап 4

Умножим квадрат каждой средней точки на ее частоту

f

$f$ .

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} 10 - 13 & 1 & 11.5 & 132.25 & 1 \cdot 132.25 14 - 17 & 3 & 15.5 & 240.25 & 3 \cdot 240.25 18 - 21 & 4 & 19.5 & 380.25 & 4 \cdot 380.25 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 10 - 13 & 1 & 11.5 & 132.25 & 1 \cdot 132.25 \\ 14 - 17 & 3 & 15.5 & 240.25 & 3 \cdot 240.25 \\ 18 - 21 & 4 & 19.5 & 380.25 & 4 \cdot 380.25 \end{array}$

Этап 5

Упростим столбец

f \cdot M^{2}

$f \cdot M^{2}$ .

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} 10 - 13 & 1 & 11.5 & 132.25 & 132.25 14 - 17 & 3 & 15.5 & 240.25 & 720.75 18 - 21 & 4 & 19.5 & 380.25 & 1521 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 10 - 13 & 1 & 11.5 & 132.25 & 132.25 \\ 14 - 17 & 3 & 15.5 & 240.25 & 720.75 \\ 18 - 21 & 4 & 19.5 & 380.25 & 1521 \end{array}$

Этап 6

Найдем сумму всех частот. В этом случае сумма всех частот равна

n = 1, 3, 4 = 8

$n = 1, 3, 4 = 8$ .

\sum f = n = 8

$\sum_{}^{} f = n = 8$

Этап 7

Найдем сумму значений столбца

f \cdot M^{2}

$f \cdot M^{2}$ . В этом случае

132.25 + 720.75 + 1521 = 2374

$132.25 + 720.75 + 1521 = 2374$ .

\sum f \cdot M^{2} = 2374

$\sum_{}^{} f \cdot M^{2} = 2374$

Этап 8

Найдем среднее значение

μ

$μ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем среднюю точку

M

$M$ для каждого класса.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) 10 - 13 & 1 & 11.5 14 - 17 & 3 & 15.5 18 - 21 & 4 & 19.5 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 10 - 13 & 1 & 11.5 \\ 14 - 17 & 3 & 15.5 \\ 18 - 21 & 4 & 19.5 \end{array}$

Этап 8.2

Умножим частоту каждого класса на среднюю точку класса.

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M 10 - 13 & 1 & 11.5 & 1 \cdot 11.5 14 - 17 & 3 & 15.5 & 3 \cdot 15.5 18 - 21 & 4 & 19.5 & 4 \cdot 19.5 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 10 - 13 & 1 & 11.5 & 1 \cdot 11.5 \\ 14 - 17 & 3 & 15.5 & 3 \cdot 15.5 \\ 18 - 21 & 4 & 19.5 & 4 \cdot 19.5 \end{array}$

Этап 8.3

Упростим столбец

f \cdot M

$f \cdot M$ .

\begin{matrix} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M 10 - 13 & 1 & 11.5 & 11.5 14 - 17 & 3 & 15.5 & 46.5 18 - 21 & 4 & 19.5 & 78 \end{matrix}

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 10 - 13 & 1 & 11.5 & 11.5 \\ 14 - 17 & 3 & 15.5 & 46.5 \\ 18 - 21 & 4 & 19.5 & 78 \end{array}$

Этап 8.4

Сложим значения в столбце

f \cdot M

$f \cdot M$ .

11.5 + 46.5 + 78 = 136

$11.5 + 46.5 + 78 = 136$

Этап 8.5

Сложим значения в столбце частот.

n = 1 + 3 + 4 = 8

$n = 1 + 3 + 4 = 8$

Этап 8.6

Среднее значение (mu) представляет собой сумму

f \cdot M

$f \cdot M$ , деленную на

n

$n$ , которая является суммой частот.

μ = \frac{\sum f \cdot M}{\sum f}

$μ = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M}{\sum_{}^{} f}$

Этап 8.7

Среднее значение ― это сумма средних точек, умноженных на частоту, деленная на сумму частот.

μ = \frac{136}{8}

$μ = \frac{136}{8}$

Этап 8.8

Упростим правую часть

μ = \frac{136}{8}

$μ = \frac{136}{8}$ .

17

$17$

17

$17$

Этап 9

Уравнение стандартного отклонения:

S^{2} = \frac{\sum f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ .

S^{2} = \frac{\sum f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$

Этап 10

Подставим вычисленные значения в

S^{2} = \frac{\sum f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ .

S^{2} = \frac{2374 - 8 {(17)}^{2}}{8 - 1}

$S^{2} = \frac{2374 - 8 {(17)}^{2}}{8 - 1}$

Этап 11

Упростим правую часть

S^{2} = \frac{2374 - 8 {(17)}^{2}}{8 - 1}

$S^{2} = \frac{2374 - 8 {(17)}^{2}}{8 - 1}$ , чтобы получить дисперсию

S^{2} = 8. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 857142

$S^{2} = 8.\overline{857142}$ .

8. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 857142

$8.\overline{857142}$

Этап 12

Стандартное отклонение представляет собой квадратный корень из дисперсии

8. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 857142

$8.\overline{857142}$ . В данном случае стандартное отклонение равно

2.97609523

$2.97609523$ .

2.97609523

$2.97609523$

Введите СВОЮ задачу