Основы мат. анализа Примеры

$(3, 8)$ , $(9, 12)$

Этап 1

Найдем угол между двумя векторами по формуле скалярного произведения.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Этап 2

Найдем скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Скалярное произведение двух векторов ― это сумма произведений их компонентов.

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 \cdot 9 + 8 \cdot 12$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $3$ на $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 27 + 8 \cdot 12$

Этап 2.2.1.2

Умножим $8$ на $12$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 27 + 96$

Этап 2.2.2

Добавим $27$ и $96$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 123$

Этап 3

Найдем абсолютную величину $a⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} + 8^{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 8^{2}}$

Этап 3.2.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 64}$

Этап 3.2.3

Добавим $9$ и $64$ .

$| a⃗ | = \sqrt{73}$

Этап 4

Найдем абсолютную величину $b⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 12^{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 12^{2}}$

Этап 4.2.2

Возведем $12$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 144}$

Этап 4.2.3

Добавим $81$ и $144$ .

$| b⃗ | = \sqrt{225}$

Этап 4.2.4

Перепишем $225$ в виде $15^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{15^{2}}$

Этап 4.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| b⃗ | = 15$

Этап 5

Подставим значения в формулу.

$θ = \arccos (\frac{123}{\sqrt{73} \cdot 15})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $123$ и $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $3$ из $123$ .

$θ = \arccos (\frac{3 (41)}{\sqrt{73} \cdot 15})$

Этап 6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $\sqrt{73} \cdot 15$ .

$θ = \arccos (\frac{3 (41)}{3 (\sqrt{73} \cdot 5)})$

Этап 6.1.2.2

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 41}{3 (\sqrt{73} \cdot 5)})$

Этап 6.1.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{41}{\sqrt{73} \cdot 5})$

Этап 6.2

Перенесем $5$ влево от $\sqrt{73}$ .

$θ = \arccos (\frac{41}{5 \sqrt{73}})$

Этап 6.3

Умножим $\frac{41}{5 \sqrt{73}}$ на $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$ .

$θ = \arccos (\frac{41}{5 \sqrt{73}} \cdot \frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}})$

Этап 6.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $\frac{41}{5 \sqrt{73}}$ на $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \sqrt{73} \sqrt{73}})$

Этап 6.4.2

Перенесем $\sqrt{73}$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 (\sqrt{73} \sqrt{73})})$

Этап 6.4.3

Возведем $\sqrt{73}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 ({\sqrt{73}}^{1} \sqrt{73})})$

Этап 6.4.4

Возведем $\sqrt{73}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 ({\sqrt{73}}^{1} {\sqrt{73}}^{1})})$

Этап 6.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {\sqrt{73}}^{1 + 1}})$

Этап 6.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {\sqrt{73}}^{2}})$

Этап 6.4.7

Перепишем ${\sqrt{73}}^{2}$ в виде $73$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{73}$ в виде $73^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {(73^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 6.4.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 6.4.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.4.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.7.4.1

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.4.7.4.2

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{1}})$

Этап 6.4.7.5

Найдем экспоненту.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73})$

Этап 6.5

Умножим $5$ на $73$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{365})$

Этап 6.6

Найдем значение $\arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{365})$ .

$θ = 16.31385242$

Введите СВОЮ задачу