Основы мат. анализа Примеры

(6, 8)

$(6, 8)$ ,

(2, 4)

$(2, 4)$

Этап 1

Найдем угол между двумя векторами по формуле скалярного произведения.

θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Этап 2

Найдем скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Скалярное произведение двух векторов ― это сумма произведений их компонентов.

a⃗ \cdot b⃗ = 6 \cdot 2 + 8 \cdot 4

$a⃗ \cdot b⃗ = 6 \cdot 2 + 8 \cdot 4$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим

6

$6$ на

2

$2$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 8 \cdot 4

$a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 8 \cdot 4$

Этап 2.2.1.2

Умножим

8

$8$ на

4

$4$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 32

$a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 32$

a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 32

$a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 32$

Этап 2.2.2

Добавим

12

$12$ и

32

$32$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 44

$a⃗ \cdot b⃗ = 44$

a⃗ \cdot b⃗ = 44

$a⃗ \cdot b⃗ = 44$

a⃗ \cdot b⃗ = 44

$a⃗ \cdot b⃗ = 44$

Этап 3

Найдем абсолютную величину

a⃗

$a⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

| a⃗ | = \sqrt{6^{2} + 8^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{6^{2} + 8^{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем

6

$6$ в степень

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{36 + 8^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 8^{2}}$

Этап 3.2.2

Возведем

8

$8$ в степень

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{36 + 64}

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 64}$

Этап 3.2.3

Добавим

36

$36$ и

64

$64$ .

| a⃗ | = \sqrt{100}

$| a⃗ | = \sqrt{100}$

Этап 3.2.4

Перепишем

100

$100$ в виде

10^{2}

$10^{2}$ .

| a⃗ | = \sqrt{10^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{10^{2}}$

Этап 3.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

| a⃗ | = 10

$| a⃗ | = 10$

| a⃗ | = 10

$| a⃗ | = 10$

| a⃗ | = 10

$| a⃗ | = 10$

Этап 4

Найдем абсолютную величину

b⃗

$b⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + 4^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + 4^{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем

2

$2$ в степень

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{4 + 4^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 4^{2}}$

Этап 4.2.2

Возведем

4

$4$ в степень

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{4 + 16}

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 16}$

Этап 4.2.3

Добавим

4

$4$ и

16

$16$ .

| b⃗ | = \sqrt{20}

$| b⃗ | = \sqrt{20}$

Этап 4.2.4

Перепишем

20

$20$ в виде

2^{2} \cdot 5

$2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вынесем множитель

4

$4$ из

20

$20$ .

| b⃗ | = \sqrt{4 (5)}

$| b⃗ | = \sqrt{4 (5)}$

Этап 4.2.4.2

Перепишем

4

$4$ в виде

2^{2}

$2^{2}$ .

| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Этап 4.2.5

Вынесем члены из-под знака корня.

| b⃗ | = 2 \sqrt{5}

$| b⃗ | = 2 \sqrt{5}$

| b⃗ | = 2 \sqrt{5}

$| b⃗ | = 2 \sqrt{5}$

| b⃗ | = 2 \sqrt{5}

$| b⃗ | = 2 \sqrt{5}$

Этап 5

Подставим значения в формулу.

θ = \arccos (\frac{44}{10 (2 \sqrt{5})})

$θ = \arccos (\frac{44}{10 (2 \sqrt{5})})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель

44

$44$ и

10

$10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

44

$44$ .

θ = \arccos (\frac{2 (22)}{10 (2 \sqrt{5})})

$θ = \arccos (\frac{2 (22)}{10 (2 \sqrt{5})})$

Этап 6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

10 (2 \sqrt{5})

$10 (2 \sqrt{5})$ .

θ = \arccos (\frac{2 (22)}{2 (5 (2 \sqrt{5}))})

$θ = \arccos (\frac{2 (22)}{2 (5 (2 \sqrt{5}))})$

Этап 6.1.2.2

Сократим общий множитель.

θ = \arccos (\frac{2 \cdot 22}{2 (5 (2 \sqrt{5}))})

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 22}{2 (5 (2 \sqrt{5}))})$

Этап 6.1.2.3

Перепишем это выражение.

θ = \arccos (\frac{22}{5 (2 \sqrt{5})})

$θ = \arccos (\frac{22}{5 (2 \sqrt{5})})$

θ = \arccos (\frac{22}{5 (2 \sqrt{5})})

$θ = \arccos (\frac{22}{5 (2 \sqrt{5})})$

θ = \arccos (\frac{22}{5 (2 \sqrt{5})})

$θ = \arccos (\frac{22}{5 (2 \sqrt{5})})$

Этап 6.2

Сократим общий множитель

22

$22$ и

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

22

$22$ .

θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{5 (2 \sqrt{5})})

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{5 (2 \sqrt{5})})$

Этап 6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

5 (2 \sqrt{5})

$5 (2 \sqrt{5})$ .

θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{2 (5 (\sqrt{5}))})

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{2 (5 (\sqrt{5}))})$

Этап 6.2.2.2

Сократим общий множитель.

θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{2 (5 (\sqrt{5}))})

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{2 (5 (\sqrt{5}))})$

Этап 6.2.2.3

Перепишем это выражение.

θ = \arccos (\frac{11}{5 (\sqrt{5})})

$θ = \arccos (\frac{11}{5 (\sqrt{5})})$

θ = \arccos (\frac{11}{5 (\sqrt{5})})

$θ = \arccos (\frac{11}{5 (\sqrt{5})})$

θ = \arccos (\frac{11}{5 (\sqrt{5})})

$θ = \arccos (\frac{11}{5 (\sqrt{5})})$

Этап 6.3

Умножим

\frac{11}{5 \sqrt{5}}

$\frac{11}{5 \sqrt{5}}$ на

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

θ = \arccos (\frac{11}{5 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})

$θ = \arccos (\frac{11}{5 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Этап 6.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим

\frac{11}{5 \sqrt{5}}

$\frac{11}{5 \sqrt{5}}$ на

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \sqrt{5} \sqrt{5}})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \sqrt{5} \sqrt{5}})$

Этап 6.4.2

Перенесем

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ .

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 (\sqrt{5} \sqrt{5})})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 (\sqrt{5} \sqrt{5})})$

Этап 6.4.3

Возведем

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ в степень

1

$1$ .

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})})$

Этап 6.4.4

Возведем

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ в степень

1

$1$ .

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})})$

Этап 6.4.5

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {\sqrt{5}}^{1 + 1}})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Этап 6.4.6

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {\sqrt{5}}^{2}})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {\sqrt{5}}^{2}})$

Этап 6.4.7

Перепишем

{\sqrt{5}}^{2}

${\sqrt{5}}^{2}$ в виде

5

$5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.7.1

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ в виде

5^{\frac{1}{2}}

$5^{\frac{1}{2}}$ .

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 6.4.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 6.4.7.3

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

2

$2$ .

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{2}{2}}})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.4.7.4

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.7.4.1

Сократим общий множитель.

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{2}{2}}})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.4.7.4.2

Перепишем это выражение.

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{1}})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{1}})$

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{1}})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{1}})$

Этап 6.4.7.5

Найдем экспоненту.

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5})$

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5})$

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5})$

Этап 6.5

Умножим

5

$5$ на

5

$5$ .

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{25})

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{25})$

Этап 6.6

Найдем значение

\arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{25})

$\arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{25})$ .

θ = 10.30484646

$θ = 10.30484646$

θ = 10.30484646

$θ = 10.30484646$

Введите СВОЮ задачу