Основы мат. анализа Примеры

$(2, 4)$ , $(- 4, 9)$

Этап 1

Найдем угол между двумя векторами по формуле скалярного произведения.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Этап 2

Найдем скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Скалярное произведение двух векторов ― это сумма произведений их компонентов.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot - 4 + 4 \cdot 9$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $2$ на $- 4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 4 \cdot 9$

Этап 2.2.1.2

Умножим $4$ на $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 36$

Этап 2.2.2

Добавим $- 8$ и $36$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 28$

Этап 3

Найдем абсолютную величину $a⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + 4^{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 4^{2}}$

Этап 3.2.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 16}$

Этап 3.2.3

Добавим $4$ и $16$ .

$| a⃗ | = \sqrt{20}$

Этап 3.2.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 (5)}$

Этап 3.2.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Этап 3.2.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$| a⃗ | = 2 \sqrt{5}$

Этап 4

Найдем абсолютную величину $b⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + 9^{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 9^{2}}$

Этап 4.2.2

Возведем $9$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 81}$

Этап 4.2.3

Добавим $16$ и $81$ .

$| b⃗ | = \sqrt{97}$

Этап 5

Подставим значения в формулу.

$θ = \arccos (\frac{28}{2 \sqrt{5} \sqrt{97}})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $28$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $28$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 14}{2 \sqrt{5} \sqrt{97}})$

Этап 6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{5} \sqrt{97}$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 14}{2 (\sqrt{5} \sqrt{97})})$

Этап 6.1.2.2

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 14}{2 (\sqrt{5} \sqrt{97})})$

Этап 6.1.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{14}{\sqrt{5} \sqrt{97}})$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$θ = \arccos (\frac{14}{\sqrt{5 \cdot 97}})$

Этап 6.2.2

Умножим $5$ на $97$ .

$θ = \arccos (\frac{14}{\sqrt{485}})$

Этап 6.3

Умножим $\frac{14}{\sqrt{485}}$ на $\frac{\sqrt{485}}{\sqrt{485}}$ .

$θ = \arccos (\frac{14}{\sqrt{485}} \cdot \frac{\sqrt{485}}{\sqrt{485}})$

Этап 6.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $\frac{14}{\sqrt{485}}$ на $\frac{\sqrt{485}}{\sqrt{485}}$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{\sqrt{485} \sqrt{485}})$

Этап 6.4.2

Возведем $\sqrt{485}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{{\sqrt{485}}^{1} \sqrt{485}})$

Этап 6.4.3

Возведем $\sqrt{485}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{{\sqrt{485}}^{1} {\sqrt{485}}^{1}})$

Этап 6.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{{\sqrt{485}}^{1 + 1}})$

Этап 6.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{{\sqrt{485}}^{2}})$

Этап 6.4.6

Перепишем ${\sqrt{485}}^{2}$ в виде $485$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{485}$ в виде $485^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{{(485^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 6.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{485^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 6.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{485^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{485^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{485^{1}})$

Этап 6.4.6.5

Найдем экспоненту.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{485})$

Этап 6.5

Найдем значение $\arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{485})$ .

$θ = 50.52754015$

Введите СВОЮ задачу