Основы мат. анализа Примеры

$(1, 2)$ , $(2, 9)$

Этап 1

Найдем угол между двумя векторами по формуле скалярного произведения.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Этап 2

Найдем скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Скалярное произведение двух векторов ― это сумма произведений их компонентов.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 9$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 2 \cdot 9$

Этап 2.2.1.2

Умножим $2$ на $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 18$

Этап 2.2.2

Добавим $2$ и $18$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 20$

Этап 3

Найдем абсолютную величину $a⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + 2^{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 2^{2}}$

Этап 3.2.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

Этап 3.2.3

Добавим $1$ и $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Этап 4

Найдем абсолютную величину $b⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + 9^{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 9^{2}}$

Этап 4.2.2

Возведем $9$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 81}$

Этап 4.2.3

Добавим $4$ и $81$ .

$| b⃗ | = \sqrt{85}$

Этап 5

Подставим значения в формулу.

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{5} \sqrt{85}})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{5 \cdot 85}})$

Этап 6.1.2

Умножим $5$ на $85$ .

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{425}})$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $425$ в виде $5^{2} \cdot 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вынесем множитель $25$ из $425$ .

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{25 (17)}})$

Этап 6.2.1.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{5^{2} \cdot 17}})$

Этап 6.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$θ = \arccos (\frac{20}{5 \sqrt{17}})$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $20$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $5$ из $20$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

Этап 6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 \sqrt{17}$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 (\sqrt{17})})$

Этап 6.3.2.2

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

Этап 6.3.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{17}})$

Этап 6.4

Умножим $\frac{4}{\sqrt{17}}$ на $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}})$

Этап 6.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Умножим $\frac{4}{\sqrt{17}}$ на $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}})$

Этап 6.5.2

Возведем $\sqrt{17}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} \sqrt{17}})$

Этап 6.5.3

Возведем $\sqrt{17}$ в степень $1$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} {\sqrt{17}}^{1}})$

Этап 6.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1 + 1}})$

Этап 6.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{2}})$

Этап 6.5.6

Перепишем ${\sqrt{17}}^{2}$ в виде $17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{17}$ в виде $17^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 6.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 6.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{1}})$

Этап 6.5.6.5

Найдем экспоненту.

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$

Этап 6.6

Найдем значение $\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$ .

$θ = 14.03624346$

Введите СВОЮ задачу