Основы мат. анализа Примеры

f (θ) = 2 sin (4 θ)

$f (θ) = 2 \sin (4 θ)$

Этап 1

Применим форму

a sin (b x - c) + d

$a \sin (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

a = 2

$a = 2$

b = 4

$b = 4$

c = 0

$c = 0$

d = 0

$d = 0$

Этап 2

Найдем амплитуду

| a |

$| a |$ .

Амплитуда:

2

$2$

Этап 3

Найдем период

2 sin (4 x)

$2 \sin (4 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Период функции можно вычислить по формуле

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2

Заменим

b

$b$ на

4

$4$ в формуле периода.

\frac{2 π}{| 4 |}

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Этап 3.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

0

$0$ и

4

$4$ равно

4

$4$ .

\frac{2 π}{4}

$\frac{2 π}{4}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель

2

$2$ и

4

$4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

2 π

$2 π$ .

\frac{2 (π)}{4}

$\frac{2 (π)}{4}$

Этап 3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

4

$4$ .

\frac{2 π}{2 \cdot 2}

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{2}$

Этап 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу

$\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле

$\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы:

$\frac{c}{b}$

Этап 4.2

Заменим величины

$c$ и

$b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы:

$\frac{0}{4}$

Этап 4.3

Разделим

$0$ на

$4$ .

Сдвиг фазы:

$0$

Сдвиг фазы:

$0$

Этап 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда:

$2$

Период:

$\frac{π}{2}$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

Этап 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем точку в

$x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$0$ .

$f (0) = 2 \sin (4 (0))$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим

$4$ на

$0$ .

$f (0) = 2 \sin (0)$

Этап 6.1.2.2

Точное значение

$\sin (0)$ :

$0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0$

Этап 6.1.2.3

Умножим

$2$ на

$0$ .

$f (0) = 0$

Этап 6.1.2.4

Окончательный ответ:

$0$ .

$0$

Этап 6.2

Найдем точку в

$x = \frac{π}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$\frac{π}{8}$ .

$f (\frac{π}{8}) = 2 \sin (4 (\frac{π}{8}))$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель

$4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Вынесем множитель

$4$ из

$8$ .

$f (\frac{π}{8}) = 2 \sin (4 (\frac{π}{4 (2)}))$

Этап 6.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{8}) = 2 \sin (4 (\frac{π}{4 \cdot 2}))$

Этап 6.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{8}) = 2 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 6.2.2.2

Точное значение

$\sin (\frac{π}{2})$ :

$1$ .

$f (\frac{π}{8}) = 2 \cdot 1$

Этап 6.2.2.3

Умножим

$2$ на

$1$ .

$f (\frac{π}{8}) = 2$

Этап 6.2.2.4

Окончательный ответ:

$2$ .

$2$

Этап 6.3

Найдем точку в

$x = \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$\frac{π}{4}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin (4 (\frac{π}{4}))$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель

$4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin (4 (\frac{π}{4}))$

Этап 6.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin (π)$

Этап 6.3.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin (0)$

Этап 6.3.2.3

Точное значение

$\sin (0)$ :

$0$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 \cdot 0$

Этап 6.3.2.4

Умножим

$2$ на

$0$ .

$f (\frac{π}{4}) = 0$

Этап 6.3.2.5

Окончательный ответ:

$0$ .

$0$

Этап 6.4

Найдем точку в

$x = \frac{3 π}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$\frac{3 π}{8}$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \sin (4 (\frac{3 π}{8}))$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Сократим общий множитель

$4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Вынесем множитель

$4$ из

$8$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \sin (4 (\frac{3 π}{4 (2)}))$

Этап 6.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \sin (4 (\frac{3 π}{4 \cdot 2}))$

Этап 6.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 6.4.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 6.4.2.3

Точное значение

$\sin (\frac{π}{2})$ :

$1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 (- 1 \cdot 1)$

Этап 6.4.2.4

Умножим

$2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.4.1

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 2 \cdot - 1$

Этап 6.4.2.4.2

Умножим

$2$ на

$- 1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = - 2$

Этап 6.4.2.5

Окончательный ответ:

$- 2$ .

$- 2$

Этап 6.5

Найдем точку в

$x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (4 (\frac{π}{2}))$

Этап 6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Вынесем множитель

$2$ из

$4$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (2 (2) (\frac{π}{2}))$

Этап 6.5.2.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (2 \cdot (2 (\frac{π}{2})))$

Этап 6.5.2.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (2 π)$

Этап 6.5.2.2

Удалим число полных оборотов

$2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен

$0$ и меньше

$2 π$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (0)$

Этап 6.5.2.3

Точное значение

$\sin (0)$ :

$0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 0$

Этап 6.5.2.4

Умножим

$2$ на

$0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0$

Этап 6.5.2.5

Окончательный ответ:

$0$ .

$0$

Этап 6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ \frac{π}{8} & 2 \\ \frac{π}{4} & 0 \\ \frac{3 π}{8} & - 2 \\ \frac{π}{2} & 0 \end{array}$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда:

$2$

Период:

$\frac{π}{2}$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ \frac{π}{8} & 2 \\ \frac{π}{4} & 0 \\ \frac{3 π}{8} & - 2 \\ \frac{π}{2} & 0 \end{array}$

Этап 8

Введите СВОЮ задачу