Основы мат. анализа Примеры

f (x) = 4 sec (4 x)

$f (x) = 4 \sec (4 x)$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вертикальные асимптоты функции

y = sec (x)

$y = \sec (x)$ находятся в точках

x = \frac{π}{2} + n π

$x = \frac{π}{2} + n π$ , где

n

$n$ — целое число. Используя основной период

(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})

$(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ для

y = s e c (x)

$y = s e c (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для

y = 4 sec (4 x)

$y = 4 \sec (4 x)$ . Положив аргумент секанса,

b x + c

$b x + c$ , равным

- \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2}$ в выражении

y = a sec (b x + c) + d

$y = a \sec (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для

y = 4 sec (4 x)

$y = 4 \sec (4 x)$ .

4 x = - \frac{π}{2}

$4 x = - \frac{π}{2}$

Этап 1.2

Разделим каждый член

4 x = - \frac{π}{2}

$4 x = - \frac{π}{2}$ на

4

$4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член

4 x = - \frac{π}{2}

$4 x = - \frac{π}{2}$ на

4

$4$ .

\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{2}}{4}

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель

4

$4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

Этап 1.2.2.1.2

Разделим

$x$ на

$1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 1.2.3.2

Умножим

$- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Умножим

$\frac{1}{4}$ на

$\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{4 \cdot 2}$

Этап 1.2.3.2.2

Умножим

$4$ на

$2$ .

$x = - \frac{π}{8}$

Этап 1.3

Выражение внутри секанса

$4 x$ приравняем

$\frac{3 π}{2}$ .

$4 x = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.4

Разделим каждый член

$4 x = \frac{3 π}{2}$ на

$4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Разделим каждый член

$4 x = \frac{3 π}{2}$ на

$4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

Этап 1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Сократим общий множитель

$4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

Этап 1.4.2.1.2

Разделим

$x$ на

$1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

Этап 1.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 1.4.3.2

Умножим

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Умножим

$\frac{3 π}{2}$ на

$\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.3.2.2

Умножим

$2$ на

$4$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Этап 1.5

Основной период

$y = 4 \sec (4 x)$ находится на промежутке

$(- \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8})$ , где

$- \frac{π}{8}$ и

$\frac{3 π}{8}$ являются вертикальными асимптотами.

$(- \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8})$

Этап 1.6

Найдем период

$\frac{2 π}{| b |}$ , чтобы узнать, где существуют вертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты встречаются каждую половину периода.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

$0$ и

$4$ равно

$4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Этап 1.6.2

Сократим общий множитель

$2$ и

$4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Вынесем множитель

$2$ из

$2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Этап 1.6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.2.1

Вынесем множитель

$2$ из

$4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 1.6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 1.6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{2}$

Этап 1.7

Вертикальные асимптоты

$y = 4 \sec (4 x)$ находятся в

$- \frac{π}{8}$ ,

$\frac{3 π}{8}$ и в каждой точке

$\frac{π n}{4}$ , где

$n$ — целое число. Это половина периода.

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}$

Этап 1.8

У секанса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты:

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}$ , где

$n$ — целое число

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты:

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}$ , где

$n$ — целое число

Этап 2

Применим форму

$a \sec (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 4$

$b = 4$

$c = 0$

$d = 0$

Этап 3

Поскольку график функции

$s e c$ не имеет максимального или минимального значения, его амплитуда не может быть определена.

Амплитуда: нет

Этап 4

Найдем период

$4 \sec (4 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Период функции можно вычислить по формуле

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2

Заменим

$b$ на

$4$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Этап 4.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

$0$ и

$4$ равно

$4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель

$2$ и

$4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель

$2$ из

$2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Этап 4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Вынесем множитель

$2$ из

$4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{2}$

Этап 5

Найдем сдвиг фазы, используя формулу

$\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле

$\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы:

$\frac{c}{b}$

Этап 5.2

Заменим величины

$c$ и

$b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы:

$\frac{0}{4}$

Этап 5.3

Разделим

$0$ на

$4$ .

Сдвиг фазы:

$0$

Сдвиг фазы:

$0$

Этап 6

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: нет

Период:

$\frac{π}{2}$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Вертикальные асимптоты:

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}$ , где

$n$ — целое число

Амплитуда: нет

Период:

$\frac{π}{2}$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

Этап 8

Введите СВОЮ задачу