Основы мат. анализа Примеры

$4 x + y - 2 z = 0$ , $2 x - 3 y + 3 z = 9$ , $- 6 x - 2 y + z = 0$

Этап 1

Выберем два уравнения и исключим одну переменную. В данном случае исключим $y$ .

$4 x + y - 2 z = 0$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

Этап 2

Исключим $y$ из системы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждое уравнение на значение, которое сделает коэффициенты $y$ противоположными.

$(3) \cdot (4 x + y - 2 z) = (3) (0)$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим $(3) \cdot (4 x + y - 2 z)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (4 x) + 3 y + 3 (- 2 z) = (3) (0)$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

Этап 2.2.1.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Умножим $4$ на $3$ .

$12 x + 3 y + 3 (- 2 z) = (3) (0)$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

Этап 2.2.1.1.2.2

Умножим $- 2$ на $3$ .

$12 x + 3 y - 6 z = (3) (0)$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

$12 x + 3 y - 6 z = (3) (0)$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

$12 x + 3 y - 6 z = (3) (0)$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

$12 x + 3 y - 6 z = (3) (0)$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

Этап 2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $3$ на $0$ .

$12 x + 3 y - 6 z = 0$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

$12 x + 3 y - 6 z = 0$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

$12 x + 3 y - 6 z = 0$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

Этап 2.3

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить $y$ из системы.

	$1$	$2$	$x$	$+$	$3$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$0$
$+$		$2$	$x$	$-$	$3$	$y$	$+$	$3$	$z$	$=$	$9$
	$1$	$4$	$x$				$-$	$3$	$z$	$=$	$9$

Этап 2.4

В результирующем уравнении выражение $y$ исключено.

$14 x - 3 z = 9$

Этап 3

Выберем еще два уравнения и исключим $y$ .

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

$- 6 x - 2 y + z = 0$

Этап 4

Исключим $y$ из системы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим каждое уравнение на значение, которое сделает коэффициенты $y$ противоположными.

$(- 2) \cdot (2 x - 3 y + 3 z) = (- 2) (9)$

$(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z) = (3) (0)$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим $(- 2) \cdot (2 x - 3 y + 3 z)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 (2 x) - 2 (- 3 y) - 2 (3 z) = (- 2) (9)$

$(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z) = (3) (0)$

Этап 4.2.1.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 4 x - 2 (- 3 y) - 2 (3 z) = (- 2) (9)$

$(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z) = (3) (0)$

Этап 4.2.1.1.2.2

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$- 4 x + 6 y - 2 (3 z) = (- 2) (9)$

$(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z) = (3) (0)$

Этап 4.2.1.1.2.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$- 4 x + 6 y - 6 z = (- 2) (9)$

$(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z) = (3) (0)$

$- 4 x + 6 y - 6 z = (- 2) (9)$

$(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z) = (3) (0)$

$- 4 x + 6 y - 6 z = (- 2) (9)$

$(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z) = (3) (0)$

$- 4 x + 6 y - 6 z = (- 2) (9)$

$(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z) = (3) (0)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $- 2$ на $9$ .

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z) = (3) (0)$

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z) = (3) (0)$

Этап 4.2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим $(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$3 (- 6 x) + 3 (- 2 y) + 3 z = (3) (0)$

Этап 4.2.3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.2.1

Умножим $- 6$ на $3$ .

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$- 18 x + 3 (- 2 y) + 3 z = (3) (0)$

Этап 4.2.3.1.2.2

Умножим $- 2$ на $3$ .

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$- 18 x - 6 y + 3 z = (3) (0)$

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$- 18 x - 6 y + 3 z = (3) (0)$

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$- 18 x - 6 y + 3 z = (3) (0)$

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$- 18 x - 6 y + 3 z = (3) (0)$

Этап 4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Умножим $3$ на $0$ .

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$- 18 x - 6 y + 3 z = 0$

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$- 18 x - 6 y + 3 z = 0$

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$- 18 x - 6 y + 3 z = 0$

Этап 4.3

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить $y$ из системы.

		$-$	$4$	$x$	$+$	$6$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$
$+$	$-$	$1$	$8$	$x$	$-$	$6$	$y$	$+$	$3$	$z$	$=$			$0$
	$-$	$2$	$2$	$x$				$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$

Этап 4.4

В результирующем уравнении выражение $y$ исключено.

$- 22 x - 3 z = - 18$

Этап 5

Возьмем результирующие уравнения и исключим другую переменную. В этом случае исключим $z$ .

$14 x - 3 z = 9$

$- 22 x - 3 z = - 18$

Этап 6

Исключим $z$ из системы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим каждое уравнение на значение, которое сделает коэффициенты $z$ противоположными.

$(- 1) \cdot (14 x - 3 z) = (- 1) (9)$

$- 22 x - 3 z = - 18$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Упростим $(- 1) \cdot (14 x - 3 z)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 (14 x) - 1 (- 3 z) = (- 1) (9)$

$- 22 x - 3 z = - 18$

Этап 6.2.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.2.1

Умножим $14$ на $- 1$ .

$- 14 x - 1 (- 3 z) = (- 1) (9)$

$- 22 x - 3 z = - 18$

Этап 6.2.1.1.2.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$- 14 x + 3 z = (- 1) (9)$

$- 22 x - 3 z = - 18$

$- 14 x + 3 z = (- 1) (9)$

$- 22 x - 3 z = - 18$

$- 14 x + 3 z = (- 1) (9)$

$- 22 x - 3 z = - 18$

$- 14 x + 3 z = (- 1) (9)$

$- 22 x - 3 z = - 18$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$- 14 x + 3 z = - 9$

$- 22 x - 3 z = - 18$

$- 14 x + 3 z = - 9$

$- 22 x - 3 z = - 18$

$- 14 x + 3 z = - 9$

$- 22 x - 3 z = - 18$

Этап 6.3

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить $z$ из системы.

	$-$	$1$	$4$	$x$	$+$	$3$	$z$	$=$		$-$	$9$
$+$	$-$	$2$	$2$	$x$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$
	$-$	$3$	$6$	$x$				$=$	$-$	$2$	$7$

Этап 6.4

В результирующем уравнении выражение $z$ исключено.

$- 36 x = - 27$

Этап 6.5

Разделим каждый член $- 36 x = - 27$ на $- 36$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Разделим каждый член $- 36 x = - 27$ на $- 36$ .

$\frac{- 36 x}{- 36} = \frac{- 27}{- 36}$

Этап 6.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Сократим общий множитель $- 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 36 x}{- 36} = \frac{- 27}{- 36}$

Этап 6.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 27}{- 36}$

Этап 6.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1

Сократим общий множитель $- 27$ и $- 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1.1

Вынесем множитель $- 9$ из $- 27$ .

$x = \frac{- 9 (3)}{- 36}$

Этап 6.5.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 9$ из $- 36$ .

$x = \frac{- 9 \cdot 3}{- 9 \cdot 4}$

Этап 6.5.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{- 9 \cdot 3}{- 9 \cdot 4}$

Этап 6.5.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3}{4}$

Этап 7

Подставим значение $x$ в уравнение с уже исключенным $y$ и решим относительно оставшейся переменной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим значение $x$ в уравнение с уже исключенным $y$ .

$14 (\frac{3}{4}) - 3 z = 9$

Этап 7.2

Решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$2 (7) \frac{3}{4} - 3 z = 9$

Этап 7.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 \cdot 7 \frac{3}{2 \cdot 2} - 3 z = 9$

Этап 7.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 7 \frac{3}{2 \cdot 2} - 3 z = 9$

Этап 7.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$7 (\frac{3}{2}) - 3 z = 9$

Этап 7.2.1.2

Объединим $7$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{7 \cdot 3}{2} - 3 z = 9$

Этап 7.2.1.3

Умножим $7$ на $3$ .

$\frac{21}{2} - 3 z = 9$

Этап 7.2.2

Перенесем все члены без $z$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $\frac{21}{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 3 z = 9 - \frac{21}{2}$

Этап 7.2.2.2

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 3 z = 9 \cdot \frac{2}{2} - \frac{21}{2}$

Этап 7.2.2.3

Объединим $9$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 3 z = \frac{9 \cdot 2}{2} - \frac{21}{2}$

Этап 7.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 3 z = \frac{9 \cdot 2 - 21}{2}$

Этап 7.2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.5.1

Умножим $9$ на $2$ .

$- 3 z = \frac{18 - 21}{2}$

Этап 7.2.2.5.2

Вычтем $21$ из $18$ .

$- 3 z = \frac{- 3}{2}$

Этап 7.2.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 3 z = - \frac{3}{2}$

Этап 7.2.3

Разделим каждый член $- 3 z = - \frac{3}{2}$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Разделим каждый член $- 3 z = - \frac{3}{2}$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 z}{- 3} = \frac{- \frac{3}{2}}{- 3}$

Этап 7.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 z}{- 3} = \frac{- \frac{3}{2}}{- 3}$

Этап 7.2.3.2.1.2

Разделим $z$ на $1$ .

$z = \frac{- \frac{3}{2}}{- 3}$

Этап 7.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$z = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{- 3}$

Этап 7.2.3.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{2}$ в числитель.

$z = \frac{- 3}{2} \cdot \frac{1}{- 3}$

Этап 7.2.3.3.2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$z = \frac{3 (- 1)}{2} \cdot \frac{1}{- 3}$

Этап 7.2.3.3.2.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$z = \frac{3 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{3 \cdot - 1}$

Этап 7.2.3.3.2.4

Сократим общий множитель.

$z = \frac{3 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{3 \cdot - 1}$

Этап 7.2.3.3.2.5

Перепишем это выражение.

$z = \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{- 1}$

Этап 7.2.3.3.3

Умножим $\frac{- 1}{2}$ на $\frac{1}{- 1}$ .

$z = \frac{- 1}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.2.3.3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$z = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 7.2.3.3.5

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$z = \frac{1}{2}$

Этап 8

Подставим значение всех известных переменных в одно из исходных уравнений и решим относительно последней переменной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Подставим значение всех известных переменных в одно из исходных уравнений.

$4 (\frac{3}{4}) + y - 2 (\frac{1}{2}) = 0$

Этап 8.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим $4 (\frac{3}{4}) + y - 2 (\frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{3}{4}) + y - 2 (\frac{1}{2}) = 0$

Этап 8.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$3 + y - 2 (\frac{1}{2}) = 0$

Этап 8.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$3 + y + 2 (- 1) \frac{1}{2} = 0$

Этап 8.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$3 + y + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2} = 0$

Этап 8.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$3 + y - 1 = 0$

Этап 8.2.1.2

Вычтем $1$ из $3$ .

$y + 2 = 0$

Этап 8.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$y = - 2$

Этап 9

Решение системы уравнений может быть представлено в виде точки.

$(\frac{3}{4}, - 2, \frac{1}{2})$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(\frac{3}{4}, - 2, \frac{1}{2})$

Форма уравнения:

$x = \frac{3}{4}, y = - 2, z = \frac{1}{2}$

Введите СВОЮ задачу

	$1$	$2$	$x$	$+$	$3$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$0$
$+$		$2$	$x$	$-$	$3$	$y$	$+$	$3$	$z$	$=$	$9$
	$1$	$4$	$x$				$-$	$3$	$z$	$=$	$9$

		$-$	$4$	$x$	$+$	$6$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$
$+$	$-$	$1$	$8$	$x$	$-$	$6$	$y$	$+$	$3$	$z$	$=$			$0$
	$-$	$2$	$2$	$x$				$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$

	$-$	$1$	$4$	$x$	$+$	$3$	$z$	$=$		$-$	$9$
$+$	$-$	$2$	$2$	$x$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$
	$-$	$3$	$6$	$x$				$=$	$-$	$2$	$7$

	$1$	$2$	$x$	$+$	$3$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$0$
$+$		$2$	$x$	$-$	$3$	$y$	$+$	$3$	$z$	$=$	$9$
	$1$	$4$	$x$				$-$	$3$	$z$	$=$	$9$

		$-$	$4$	$x$	$+$	$6$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$
$+$	$-$	$1$	$8$	$x$	$-$	$6$	$y$	$+$	$3$	$z$	$=$			$0$
	$-$	$2$	$2$	$x$				$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$

	$-$	$1$	$4$	$x$	$+$	$3$	$z$	$=$		$-$	$9$
$+$	$-$	$2$	$2$	$x$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$
	$-$	$3$	$6$	$x$				$=$	$-$	$2$	$7$

	$1$	$2$	$x$	$+$	$3$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$0$
$+$		$2$	$x$	$-$	$3$	$y$	$+$	$3$	$z$	$=$	$9$
	$1$	$4$	$x$				$-$	$3$	$z$	$=$	$9$

		$-$	$4$	$x$	$+$	$6$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$
$+$	$-$	$1$	$8$	$x$	$-$	$6$	$y$	$+$	$3$	$z$	$=$			$0$
	$-$	$2$	$2$	$x$				$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$

	$-$	$1$	$4$	$x$	$+$	$3$	$z$	$=$		$-$	$9$
$+$	$-$	$2$	$2$	$x$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$
	$-$	$3$	$6$	$x$				$=$	$-$	$2$	$7$