Основы мат. анализа Примеры

\frac{i + 1}{5 i - 1}

$\frac{i + 1}{5 i - 1}$

Этап 1

Умножим числитель и знаменатель

\frac{i + 1}{- 1 + 5 i}

$\frac{i + 1}{- 1 + 5 i}$ на комплексно сопряженное

- 1 + 5 i

$- 1 + 5 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

\frac{i + 1}{- 1 + 5 i} \cdot \frac{- 1 - 5 i}{- 1 - 5 i}

$\frac{i + 1}{- 1 + 5 i} \cdot \frac{- 1 - 5 i}{- 1 - 5 i}$

Этап 2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим.

\frac{(i + 1) (- 1 - 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{(i + 1) (- 1 - 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Развернем

(i + 1) (- 1 - 5 i)

$(i + 1) (- 1 - 5 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{i (- 1 - 5 i) + 1 (- 1 - 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{i (- 1 - 5 i) + 1 (- 1 - 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{i \cdot - 1 + i (- 5 i) + 1 (- 1 - 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{i \cdot - 1 + i (- 5 i) + 1 (- 1 - 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{i \cdot - 1 + i (- 5 i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{i \cdot - 1 + i (- 5 i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

\frac{i \cdot - 1 + i (- 5 i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{i \cdot - 1 + i (- 5 i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Перенесем

- 1

$- 1$ влево от

i

$i$ .

\frac{- 1 \cdot i + i (- 5 i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{- 1 \cdot i + i (- 5 i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.2.2.1.2

Перепишем

- 1 i

$- 1 i$ в виде

- i

$- i$ .

\frac{- i + i (- 5 i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}

$\frac{- i + i (- 5 i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.2.2.1.3

Умножим

$i (- 5 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.3.1

Возведем

$i$ в степень

$1$ .

$\frac{- i - 5 (i^{1} i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.2.2.1.3.2

Возведем

$i$ в степень

$1$ .

$\frac{- i - 5 (i^{1} i^{1}) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.2.2.1.3.3

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- i - 5 i^{1 + 1} + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.2.2.1.3.4

Добавим

$1$ и

$1$ .

$\frac{- i - 5 i^{2} + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.2.2.1.4

Перепишем

$i^{2}$ в виде

$- 1$ .

$\frac{- i - 5 \cdot - 1 + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.2.2.1.5

Умножим

$- 5$ на

$- 1$ .

$\frac{- i + 5 + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.2.2.1.6

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$\frac{- i + 5 - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.2.2.1.7

Умножим

$- 5 i$ на

$1$ .

$\frac{- i + 5 - 1 - 5 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.2.2.2

Вычтем

$5 i$ из

$- i$ .

$\frac{5 - 1 - 6 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.2.2.3

Вычтем

$1$ из

$5$ .

$\frac{4 - 6 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем

$(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 - 6 i}{- 1 (- 1 - 5 i) + 5 i (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 - 6 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- 5 i) + 5 i (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 - 6 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- 5 i) + 5 i \cdot - 1 + 5 i (- 5 i)}$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 - 1 (- 5 i) + 5 i \cdot - 1 + 5 i (- 5 i)}$

Этап 2.3.2.2

Умножим

$- 5$ на

$- 1$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i + 5 i \cdot - 1 + 5 i (- 5 i)}$

Этап 2.3.2.3

Умножим

$- 1$ на

$5$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i + 5 i (- 5 i)}$

Этап 2.3.2.4

Умножим

$- 5$ на

$5$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 i i}$

Этап 2.3.2.5

Возведем

$i$ в степень

$1$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 (i^{1} i)}$

Этап 2.3.2.6

Возведем

$i$ в степень

$1$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 (i^{1} i^{1})}$

Этап 2.3.2.7

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 i^{1 + 1}}$

Этап 2.3.2.8

Добавим

$1$ и

$1$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 i^{2}}$

Этап 2.3.2.9

Вычтем

$5 i$ из

$5 i$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 + 0 - 25 i^{2}}$

Этап 2.3.2.10

Добавим

$1$ и

$0$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 - 25 i^{2}}$

Этап 2.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем

$i^{2}$ в виде

$- 1$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 - 25 \cdot - 1}$

Этап 2.3.3.2

Умножим

$- 25$ на

$- 1$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 + 25}$

Этап 2.3.4

Добавим

$1$ и

$25$ .

$\frac{4 - 6 i}{26}$

Этап 3

Сократим общий множитель

$4 - 6 i$ и

$26$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель

$2$ из

$4$ .

$\frac{2 (2) - 6 i}{26}$

Этап 3.2

Вынесем множитель

$2$ из

$- 6 i$ .

$\frac{2 (2) + 2 (- 3 i)}{26}$

Этап 3.3

Вынесем множитель

$2$ из

$2 (2) + 2 (- 3 i)$ .

$\frac{2 (2 - 3 i)}{26}$

Этап 3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель

$2$ из

$26$ .

$\frac{2 (2 - 3 i)}{2 \cdot 13}$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 - 3 i)}{2 \cdot 13}$

Этап 3.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 - 3 i}{13}$

Этап 4

Разобьем дробь

$\frac{2 - 3 i}{13}$ на две дроби.

$\frac{2}{13} + \frac{- 3 i}{13}$

Этап 5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{13} - \frac{3 i}{13}$

Введите СВОЮ задачу