Основы мат. анализа Примеры

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ ,

3

$3$

Этап 1

Корни — это точки пересечения графика с осью x

(y = 0)

$(y = 0)$ .

y = 0

$y = 0$ при значениях, соответствующих корням

Этап 2

Корень в

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$ был найден решением относительно

x

$x$ при условии

x - (\frac{1}{2}) = y

$x - (\frac{1}{2}) = y$ и

y = 0

$y = 0$ .

Множитель равен

x - \frac{1}{2}

$x - \frac{1}{2}$ .

Этап 3

Корень в

x = 3

$x = 3$ был найден решением относительно

x

$x$ при условии

x - (3) = y

$x - (3) = y$ и

y = 0

$y = 0$ .

Множитель равен

x - 3

$x - 3$ .

Этап 4

Объединим все множители в одно уравнение.

y = (x - \frac{1}{2}) (x - 3)

$y = (x - \frac{1}{2}) (x - 3)$

Этап 5

Перемножим все множители, чтобы упростить уравнение

y = (x - \frac{1}{2}) (x - 3)

$y = (x - \frac{1}{2}) (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Развернем

(x - \frac{1}{2}) (x - 3)

$(x - \frac{1}{2}) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

y = x (x - 3) - \frac{1}{2} \cdot (x - 3)

$y = x (x - 3) - \frac{1}{2} \cdot (x - 3)$

Этап 5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

y = x \cdot x + x \cdot - 3 - \frac{1}{2} \cdot (x - 3)

$y = x \cdot x + x \cdot - 3 - \frac{1}{2} \cdot (x - 3)$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

y = x \cdot x + x \cdot - 3 - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 3

$y = x \cdot x + x \cdot - 3 - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 3$

y = x \cdot x + x \cdot - 3 - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 3

$y = x \cdot x + x \cdot - 3 - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 3$

Этап 5.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим

x

$x$ на

x

$x$ .

y = x^{2} + x \cdot - 3 - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 3

$y = x^{2} + x \cdot - 3 - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 3$

Этап 5.2.1.2

Перенесем

- 3

$- 3$ влево от

x

$x$ .

y = x^{2} - 3 \cdot x - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 3

$y = x^{2} - 3 \cdot x - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 3$

Этап 5.2.1.3

Объединим

x

$x$ и

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

y = x^{2} - 3 x - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 3

$y = x^{2} - 3 x - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 3$

Этап 5.2.1.4

Умножим

- \frac{1}{2} \cdot - 3

$- \frac{1}{2} \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.1

Умножим

- 3

$- 3$ на

- 1

$- 1$ .

y = x^{2} - 3 x - \frac{x}{2} + 3 (\frac{1}{2})

$y = x^{2} - 3 x - \frac{x}{2} + 3 (\frac{1}{2})$

Этап 5.2.1.4.2

Объединим

3

$3$ и

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

y = x^{2} - 3 x - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}

$y = x^{2} - 3 x - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

y = x^{2} - 3 x - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}

$y = x^{2} - 3 x - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

y = x^{2} - 3 x - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}

$y = x^{2} - 3 x - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 5.2.2

Чтобы записать

- 3 x

$- 3 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

y = x^{2} - 3 x \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}

$y = x^{2} - 3 x \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 5.2.3

Объединим

- 3 x

$- 3 x$ и

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

y = x^{2} + \frac{- 3 x \cdot 2}{2} - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}

$y = x^{2} + \frac{- 3 x \cdot 2}{2} - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

y = x^{2} + \frac{- 3 x \cdot 2 - x}{2} + \frac{3}{2}

$y = x^{2} + \frac{- 3 x \cdot 2 - x}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 5.2.5

Чтобы записать

x^{2}

$x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

y = x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{- 3 x \cdot 2 - x}{2} + \frac{3}{2}

$y = x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{- 3 x \cdot 2 - x}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 5.2.6

Объединим

x^{2}

$x^{2}$ и

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

y = \frac{x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{- 3 x \cdot 2 - x}{2} + \frac{3}{2}

$y = \frac{x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{- 3 x \cdot 2 - x}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 5.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

y = \frac{x^{2} \cdot 2 - 3 x \cdot 2 - x}{2} + \frac{3}{2}

$y = \frac{x^{2} \cdot 2 - 3 x \cdot 2 - x}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 5.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

y = \frac{x^{2} \cdot 2 - 3 x \cdot 2 - x + 3}{2}

$y = \frac{x^{2} \cdot 2 - 3 x \cdot 2 - x + 3}{2}$

y = \frac{x^{2} \cdot 2 - 3 x \cdot 2 - x + 3}{2}

$y = \frac{x^{2} \cdot 2 - 3 x \cdot 2 - x + 3}{2}$

Этап 5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем

2

$2$ влево от

x^{2}

$x^{2}$ .

y = \frac{2 \cdot x^{2} - 3 x \cdot 2 - x + 3}{2}

$y = \frac{2 \cdot x^{2} - 3 x \cdot 2 - x + 3}{2}$

Этап 5.3.2

Умножим

2

$2$ на

- 3

$- 3$ .

y = \frac{2 x^{2} - 6 x - x + 3}{2}

$y = \frac{2 x^{2} - 6 x - x + 3}{2}$

Этап 5.3.3

Вычтем

x

$x$ из

- 6 x

$- 6 x$ .

y = \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{2}

$y = \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{2}$

Этап 5.3.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Для многочлена вида

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно

a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6

$a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ , а сумма —

b = - 7

$b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.1

Вынесем множитель

- 7

$- 7$ из

- 7 x

$- 7 x$ .

y = \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{2}

$y = \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{2}$

Этап 5.3.4.1.2

Запишем

- 7

$- 7$ как

- 1

$- 1$ плюс

- 6

$- 6$

y = \frac{2 x^{2} + (- 1 - 6) x + 3}{2}

$y = \frac{2 x^{2} + (- 1 - 6) x + 3}{2}$

Этап 5.3.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

y = \frac{2 x^{2} - 1 x - 6 x + 3}{2}

$y = \frac{2 x^{2} - 1 x - 6 x + 3}{2}$

y = \frac{2 x^{2} - 1 x - 6 x + 3}{2}

$y = \frac{2 x^{2} - 1 x - 6 x + 3}{2}$

Этап 5.3.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

y = \frac{(2 x^{2} - 1 x) - 6 x + 3}{2}

$y = \frac{(2 x^{2} - 1 x) - 6 x + 3}{2}$

Этап 5.3.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

y = \frac{x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)}{2}

$y = \frac{x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)}{2}$

y = \frac{x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)}{2}

$y = \frac{x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)}{2}$

Этап 5.3.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель

2 x - 1

$2 x - 1$ .

y = \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{2}

$y = \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{2}$

y = \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{2}

$y = \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{2}$

y = \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{2}

$y = \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{2}$

Этап 5.4

Развернем

(2 x - 1) (x - 3)

$(2 x - 1) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

y = \frac{2 x (x - 3) - 1 (x - 3)}{2}

$y = \frac{2 x (x - 3) - 1 (x - 3)}{2}$

Этап 5.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

y = \frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 1 (x - 3)}{2}

$y = \frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 1 (x - 3)}{2}$

Этап 5.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

y = \frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3}{2}

$y = \frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3}{2}$

y = \frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3}{2}

$y = \frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3}{2}$

Этап 5.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Умножим

x

$x$ на

x

$x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1.1

Перенесем

x

$x$ .

y = \frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3}{2}

$y = \frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3}{2}$

Этап 5.5.1.1.2

Умножим

x

$x$ на

x

$x$ .

y = \frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3}{2}

$y = \frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3}{2}$

y = \frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3}{2}

$y = \frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3}{2}$

Этап 5.5.1.2

Умножим

- 3

$- 3$ на

2

$2$ .

y = \frac{2 x^{2} - 6 x - 1 x - 1 \cdot - 3}{2}

$y = \frac{2 x^{2} - 6 x - 1 x - 1 \cdot - 3}{2}$

Этап 5.5.1.3

Перепишем

- 1 x

$- 1 x$ в виде

- x

$- x$ .

y = \frac{2 x^{2} - 6 x - x - 1 \cdot - 3}{2}

$y = \frac{2 x^{2} - 6 x - x - 1 \cdot - 3}{2}$

Этап 5.5.1.4

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 3

$- 3$ .

y = \frac{2 x^{2} - 6 x - x + 3}{2}

$y = \frac{2 x^{2} - 6 x - x + 3}{2}$

y = \frac{2 x^{2} - 6 x - x + 3}{2}

$y = \frac{2 x^{2} - 6 x - x + 3}{2}$

Этап 5.5.2

Вычтем

x

$x$ из

- 6 x

$- 6 x$ .

y = \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{2}

$y = \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{2}$

y = \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{2}

$y = \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{2}$

Этап 5.6

Разобьем дробь

\frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{2}

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{2}$ на две дроби.

y = \frac{2 x^{2} - 7 x}{2} + \frac{3}{2}

$y = \frac{2 x^{2} - 7 x}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 5.7

Разобьем дробь

\frac{2 x^{2} - 7 x}{2}

$\frac{2 x^{2} - 7 x}{2}$ на две дроби.

y = \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{- 7 x}{2} + \frac{3}{2}

$y = \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{- 7 x}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 5.8

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{- 7 x}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 5.8.2

Разделим

$x^{2}$ на

$1$ .

$y = x^{2} + \frac{- 7 x}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 5.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = x^{2} - \frac{7 x}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 6

Введите СВОЮ задачу