Основы мат. анализа Примеры

\frac{4 x + 5}{x} > 3

$\frac{4 x + 5}{x} > 3$

Этап 1

Вычтем

3

$3$ из обеих частей неравенства.

\frac{4 x + 5}{x} - 3 > 0

$\frac{4 x + 5}{x} - 3 > 0$

Этап 2

Упростим

\frac{4 x + 5}{x} - 3

$\frac{4 x + 5}{x} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать

- 3

$- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{x}{x}

$\frac{x}{x}$ .

\frac{4 x + 5}{x} - 3 \cdot \frac{x}{x} > 0

$\frac{4 x + 5}{x} - 3 \cdot \frac{x}{x} > 0$

Этап 2.2

Объединим

- 3

$- 3$ и

\frac{x}{x}

$\frac{x}{x}$ .

\frac{4 x + 5}{x} + \frac{- 3 x}{x} > 0

$\frac{4 x + 5}{x} + \frac{- 3 x}{x} > 0$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

\frac{4 x + 5 - 3 x}{x} > 0

$\frac{4 x + 5 - 3 x}{x} > 0$

Этап 2.4

Вычтем

3 x

$3 x$ из

4 x

$4 x$ .

\frac{x + 5}{x} > 0

$\frac{x + 5}{x} > 0$

\frac{x + 5}{x} > 0

$\frac{x + 5}{x} > 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к

0

$0$ и решим.

x = 0

$x = 0$

x + 5 = 0

$x + 5 = 0$

Этап 4

Вычтем

5

$5$ из обеих частей уравнения.

x = - 5

$x = - 5$

Этап 5

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

x = 0

$x = 0$

x = - 5

$x = - 5$

Этап 6

Объединим решения.

x = 0, - 5

$x = 0, - 5$

Этап 7

Найдем область определения

\frac{x + 5}{x}

$\frac{x + 5}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим знаменатель в

\frac{x + 5}{x}

$\frac{x + 5}{x}$ равным

0

$0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

x = 0

$x = 0$

Этап 7.2

Область определения ― это все значения

x

$x$ , при которых выражение определено.

(- \infty, 0) \cup (0, \infty)

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

(- \infty, 0) \cup (0, \infty)

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

x < - 5

$x < - 5$

- 5 < x < 0

$- 5 < x < 0$

x > 0

$x > 0$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале

x < - 5

$x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале

x < - 5

$x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

x = - 8

$x = - 8$

Этап 9.1.2

Заменим

x

$x$ на

- 8

$- 8$ в исходном неравенстве.

\frac{4 (- 8) + 5}{- 8} > 3

$\frac{4 (- 8) + 5}{- 8} > 3$

Этап 9.1.3

Левая часть

3.375

$3.375$ больше правой части

3

$3$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.2

Проверим значение на интервале

- 5 < x < 0

$- 5 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале

- 5 < x < 0

$- 5 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

x = - 2

$x = - 2$

Этап 9.2.2

Заменим

x

$x$ на

- 2

$- 2$ в исходном неравенстве.

\frac{4 (- 2) + 5}{- 2} > 3

$\frac{4 (- 2) + 5}{- 2} > 3$

Этап 9.2.3

Левая часть

1.5

$1.5$ не больше правой части

3

$3$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.3

Проверим значение на интервале

x > 0

$x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале

x > 0

$x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

x = 2

$x = 2$

Этап 9.3.2

Заменим

x

$x$ на

2

$2$ в исходном неравенстве.

\frac{4 (2) + 5}{2} > 3

$\frac{4 (2) + 5}{2} > 3$

Этап 9.3.3

Левая часть

6.5

$6.5$ больше правой части

3

$3$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

x < - 5

$x < - 5$ Истина

- 5 < x < 0

$- 5 < x < 0$ Ложь

x > 0

$x > 0$ Истина

x < - 5

$x < - 5$ Истина

- 5 < x < 0

$- 5 < x < 0$ Ложь

x > 0

$x > 0$ Истина

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

x < - 5

$x < - 5$ или

x > 0

$x > 0$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

x < - 5 or x > 0

$x < - 5 or x > 0$

Интервальное представление:

(- \infty, - 5) \cup (0, \infty)

$(- \infty, - 5) \cup (0, \infty)$

Этап 12

Введите СВОЮ задачу