Основы мат. анализа Примеры

$\frac{2 x + 6}{x} < 1$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$\frac{2 x + 6}{x} - 1 < 0$

Этап 2

Упростим $\frac{2 x + 6}{x} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 6}{x} - 1 < 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot 3}{x} - 1 < 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot 3$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 < 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x} < 0$

Этап 2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x} + \frac{- x}{x} < 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (x + 3) - x}{x} < 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x + 2 \cdot 3 - x}{x} < 0$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{2 x + 6 - x}{x} < 0$

Этап 2.5.3

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$\frac{x + 6}{x} < 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 4

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 5

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = - 6$

Этап 6

Объединим решения.

$x = 0, - 6$

Этап 7

Найдем область определения $\frac{x + 6}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим знаменатель в $\frac{x + 6}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 7.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 6$

$- 6 < x < 0$

$x > 0$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (- 8) + 6}{- 8} < 1$

Этап 9.1.3

Левая часть $1.25$ не меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- 6 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- 6 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (- 3) + 6}{- 3} < 1$

Этап 9.2.3

Левая часть $0$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 (2) + 6}{2} < 1$

Этап 9.3.3

Левая часть $5$ не меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 6$ Ложь

$- 6 < x < 0$ Истина

$x > 0$ Ложь

$x < - 6$ Ложь

$- 6 < x < 0$ Истина

$x > 0$ Ложь

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 6 < x < 0$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 6 < x < 0$

Интервальное представление:

$(- 6, 0)$

Этап 12

Введите СВОЮ задачу