Основы мат. анализа Примеры

\frac{x - 2}{x + 4} \geq 0

$\frac{x - 2}{x + 4} \geq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к

0

$0$ и решим.

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

x + 4 = 0

$x + 4 = 0$

Этап 2

Добавим

2

$2$ к обеим частям уравнения.

x = 2

$x = 2$

Этап 3

Вычтем

4

$4$ из обеих частей уравнения.

x = - 4

$x = - 4$

Этап 4

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

x = 2

$x = 2$

x = - 4

$x = - 4$

Этап 5

Объединим решения.

x = 2, - 4

$x = 2, - 4$

Этап 6

Найдем область определения

\frac{x - 2}{x + 4}

$\frac{x - 2}{x + 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в

\frac{x - 2}{x + 4}

$\frac{x - 2}{x + 4}$ равным

0

$0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

x + 4 = 0

$x + 4 = 0$

Этап 6.2

Вычтем

4

$4$ из обеих частей уравнения.

x = - 4

$x = - 4$

Этап 6.3

Область определения ― это все значения

x

$x$ , при которых выражение определено.

(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

x < - 4

$x < - 4$

- 4 < x < 2

$- 4 < x < 2$

x > 2

$x > 2$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале

x < - 4

$x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале

x < - 4

$x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

x = - 6

$x = - 6$

Этап 8.1.2

Заменим

x

$x$ на

- 6

$- 6$ в исходном неравенстве.

\frac{(- 6) - 2}{(- 6) + 4} \geq 0

$\frac{(- 6) - 2}{(- 6) + 4} \geq 0$

Этап 8.1.3

Левая часть

4

$4$ больше правой части

0

$0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 8.2

Проверим значение на интервале

- 4 < x < 2

$- 4 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале

- 4 < x < 2

$- 4 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

x = 0

$x = 0$

Этап 8.2.2

Заменим

x

$x$ на

0

$0$ в исходном неравенстве.

\frac{(0) - 2}{(0) + 4} \geq 0

$\frac{(0) - 2}{(0) + 4} \geq 0$

Этап 8.2.3

Левая часть

- 0.5

$- 0.5$ меньше правой части

0

$0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 8.3

Проверим значение на интервале

x > 2

$x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале

x > 2

$x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

x = 4

$x = 4$

Этап 8.3.2

Заменим

x

$x$ на

4

$4$ в исходном неравенстве.

\frac{(4) - 2}{(4) + 4} \geq 0

$\frac{(4) - 2}{(4) + 4} \geq 0$

Этап 8.3.3

Левая часть

0.25

$0.25$ больше правой части

0

$0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

x < - 4

$x < - 4$ Истина

- 4 < x < 2

$- 4 < x < 2$ Ложь

x > 2

$x > 2$ Истина

x < - 4

$x < - 4$ Истина

- 4 < x < 2

$- 4 < x < 2$ Ложь

x > 2

$x > 2$ Истина

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

x < - 4

$x < - 4$ или

x \geq 2

$x \geq 2$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

x < - 4 or x \geq 2

$x < - 4 or x \geq 2$

Интервальное представление:

(- \infty, - 4) \cup [2, \infty)

$(- \infty, - 4) \cup [2, \infty)$

Этап 11

Введите СВОЮ задачу