Основы мат. анализа Примеры

x^{2} + 10 x - 24 < 0

$x^{2} + 10 x - 24 < 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

x^{2} + 10 x - 24 = 0

$x^{2} + 10 x - 24 = 0$

Этап 2

Разложим

x^{2} + 10 x - 24

$x^{2} + 10 x - 24$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно

c

$c$ , а сумма —

b

$b$ . В данном случае произведение чисел равно

- 24

$- 24$ , а сумма —

10

$10$ .

- 2, 12

$- 2, 12$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

(x - 2) (x + 12) = 0

$(x - 2) (x + 12) = 0$

(x - 2) (x + 12) = 0

$(x - 2) (x + 12) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

0

$0$ , все выражение равно

0

$0$ .

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

x + 12 = 0

$x + 12 = 0$

Этап 4

Приравняем

x - 2

$x - 2$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем

x - 2

$x - 2$ к

0

$0$ .

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

Этап 4.2

Добавим

2

$2$ к обеим частям уравнения.

x = 2

$x = 2$

x = 2

$x = 2$

Этап 5

Приравняем

x + 12

$x + 12$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем

x + 12

$x + 12$ к

0

$0$ .

x + 12 = 0

$x + 12 = 0$

Этап 5.2

Вычтем

12

$12$ из обеих частей уравнения.

x = - 12

$x = - 12$

x = - 12

$x = - 12$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых

(x - 2) (x + 12) = 0

$(x - 2) (x + 12) = 0$ верно.

x = 2, - 12

$x = 2, - 12$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

x < - 12

$x < - 12$

- 12 < x < 2

$- 12 < x < 2$

x > 2

$x > 2$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале

x < - 12

$x < - 12$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале

x < - 12

$x < - 12$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

x = - 14

$x = - 14$

Этап 8.1.2

Заменим

x

$x$ на

- 14

$- 14$ в исходном неравенстве.

{(- 14)}^{2} + 10 (- 14) - 24 < 0

${(- 14)}^{2} + 10 (- 14) - 24 < 0$

Этап 8.1.3

Левая часть

32

$32$ не меньше правой части

0

$0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 8.2

Проверим значение на интервале

- 12 < x < 2

$- 12 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале

- 12 < x < 2

$- 12 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

x = 0

$x = 0$

Этап 8.2.2

Заменим

x

$x$ на

0

$0$ в исходном неравенстве.

{(0)}^{2} + 10 (0) - 24 < 0

${(0)}^{2} + 10 (0) - 24 < 0$

Этап 8.2.3

Левая часть

- 24

$- 24$ меньше правой части

0

$0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 8.3

Проверим значение на интервале

x > 2

$x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале

x > 2

$x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

x = 4

$x = 4$

Этап 8.3.2

Заменим

x

$x$ на

4

$4$ в исходном неравенстве.

{(4)}^{2} + 10 (4) - 24 < 0

${(4)}^{2} + 10 (4) - 24 < 0$

Этап 8.3.3

Левая часть

32

$32$ не меньше правой части

0

$0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

x < - 12

$x < - 12$ Ложь

- 12 < x < 2

$- 12 < x < 2$ Истина

x > 2

$x > 2$ Ложь

x < - 12

$x < - 12$ Ложь

- 12 < x < 2

$- 12 < x < 2$ Истина

x > 2

$x > 2$ Ложь

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

- 12 < x < 2

$- 12 < x < 2$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

- 12 < x < 2

$- 12 < x < 2$

Интервальное представление:

(- 12, 2)

$(- 12, 2)$

Этап 11

Введите СВОЮ задачу