Основы мат. анализа Примеры

(0, 3)

$(0, 3)$ ,

(4, 9)

$(4, 9)$ ,

(- 4, 3)

$(- 4, 3)$

Этап 1

Воспользуемся стандартной формой квадратного уравнения

y = a x^{2} + b x + c

$y = a x^{2} + b x + c$ в качестве начальной точки, чтобы найти уравнение параболы, проходящей через три данные точки.

y = a x^{2} + b x + c

$y = a x^{2} + b x + c$

Этап 2

Составим систему уравнений, подставив значения

x

$x$ и

y

$y$ для каждой точки в стандартную формулу квадратного уравнения, чтобы получить систему из трех уравнений.

3 = a {(0)}^{2} + b (0) + c, 9 = a {(4)}^{2} + b (4) + c, 3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(0)}^{2} + b (0) + c, 9 = a {(4)}^{2} + b (4) + c, 3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

Этап 3

Решим систему уравнений, чтобы найти значения

a

$a$ ,

b

$b$ и

c

$c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно

c

$c$ в

3 = a \cdot 0^{2} + c

$3 = a \cdot 0^{2} + c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде

a \cdot 0^{2} + c = 3

$a \cdot 0^{2} + c = 3$ .

a \cdot 0^{2} + c = 3

$a \cdot 0^{2} + c = 3$

9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

Этап 3.1.2

Упростим

a \cdot 0^{2} + c

$a \cdot 0^{2} + c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведение

0

$0$ в любую положительную степень дает

0

$0$ .

a \cdot 0 + c = 3

$a \cdot 0 + c = 3$

9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим

a

$a$ на

0

$0$ .

0 + c = 3

$0 + c = 3$

9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

0 + c = 3

$0 + c = 3$

9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

Этап 3.1.2.2

Добавим

0

$0$ и

c

$c$ .

c = 3

$c = 3$

9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

c = 3

$c = 3$

9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

c = 3

$c = 3$

9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

Этап 3.2

Заменим все вхождения

c

$c$ на

3

$3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения

c

$c$ в

9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$ на

3

$3$ .

9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 3

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 3$

c = 3

$c = 3$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

Этап 3.2.2

Упростим

9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 3

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Избавимся от скобок.

9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 3

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 3$

c = 3

$c = 3$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 3

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 3$

c = 3

$c = 3$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

Этап 3.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Возведем

4

$4$ в степень

2

$2$ .

9 = a \cdot 16 + b (4) + 3

$9 = a \cdot 16 + b (4) + 3$

c = 3

$c = 3$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

Этап 3.2.2.2.1.2

Перенесем

16

$16$ влево от

a

$a$ .

9 = 16 \cdot a + b (4) + 3

$9 = 16 \cdot a + b (4) + 3$

c = 3

$c = 3$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

Этап 3.2.2.2.1.3

Перенесем

4

$4$ влево от

b

$b$ .

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения

c

$c$ в

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$ на

3

$3$ .

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + 3

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + 3$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

Этап 3.2.4

Упростим

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + 3

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.1

Избавимся от скобок.

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + 3

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + 3$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + 3

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + 3$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

Этап 3.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1.1

Возведем

- 4

$- 4$ в степень

2

$2$ .

3 = a \cdot 16 + b (- 4) + 3

$3 = a \cdot 16 + b (- 4) + 3$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

Этап 3.2.4.2.1.2

Перенесем

16

$16$ влево от

a

$a$ .

3 = 16 \cdot a + b (- 4) + 3

$3 = 16 \cdot a + b (- 4) + 3$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

Этап 3.2.4.2.1.3

Перенесем

- 4

$- 4$ влево от

b

$b$ .

3 = 16 a - 4 b + 3

$3 = 16 a - 4 b + 3$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

3 = 16 a - 4 b + 3

$3 = 16 a - 4 b + 3$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

3 = 16 a - 4 b + 3

$3 = 16 a - 4 b + 3$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

3 = 16 a - 4 b + 3

$3 = 16 a - 4 b + 3$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

3 = 16 a - 4 b + 3

$3 = 16 a - 4 b + 3$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

Этап 3.3

Решим относительно

a

$a$ в

3 = 16 a - 4 b + 3

$3 = 16 a - 4 b + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде

16 a - 4 b + 3 = 3

$16 a - 4 b + 3 = 3$ .

16 a - 4 b + 3 = 3

$16 a - 4 b + 3 = 3$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без

a

$a$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим

4 b

$4 b$ к обеим частям уравнения.

16 a + 3 = 3 + 4 b

$16 a + 3 = 3 + 4 b$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

Этап 3.3.2.2

Вычтем

3

$3$ из обеих частей уравнения.

16 a = 3 + 4 b - 3

$16 a = 3 + 4 b - 3$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

Этап 3.3.2.3

Объединим противоположные члены в

3 + 4 b - 3

$3 + 4 b - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Вычтем

3

$3$ из

3

$3$ .

16 a = 4 b + 0

$16 a = 4 b + 0$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

Этап 3.3.2.3.2

Добавим

4 b

$4 b$ и

0

$0$ .

16 a = 4 b

$16 a = 4 b$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

16 a = 4 b

$16 a = 4 b$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

16 a = 4 b

$16 a = 4 b$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член

16 a = 4 b

$16 a = 4 b$ на

16

$16$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член

16 a = 4 b

$16 a = 4 b$ на

16

$16$ .

\frac{16 a}{16} = \frac{4 b}{16}

$\frac{16 a}{16} = \frac{4 b}{16}$

9 = 16 a + 4 b + 3

$9 = 16 a + 4 b + 3$

c = 3

$c = 3$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель

16

$16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16 a}{16} = \frac{4 b}{16}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим

$a$ на

$1$ .

$a = \frac{4 b}{16}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{4 b}{16}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{4 b}{16}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Сократим общий множитель

$4$ и

$16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1.1

Вынесем множитель

$4$ из

$4 b$ .

$a = \frac{4 (b)}{16}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Этап 3.3.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель

$4$ из

$16$ .

$a = \frac{4 b}{4 \cdot 4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Этап 3.3.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$a = \frac{4 b}{4 \cdot 4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Этап 3.3.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$a = \frac{b}{4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{b}{4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{b}{4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{b}{4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{b}{4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{b}{4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Этап 3.4

Заменим все вхождения

$a$ на

$\frac{b}{4}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения

$a$ в

$9 = 16 a + 4 b + 3$ на

$\frac{b}{4}$ .

$9 = 16 (\frac{b}{4}) + 4 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим

$16 (\frac{b}{4}) + 4 b + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель

$4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Вынесем множитель

$4$ из

$16$ .

$9 = 4 (4) (\frac{b}{4}) + 4 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Этап 3.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$9 = 4 \cdot (4 (\frac{b}{4})) + 4 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Этап 3.4.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$9 = 4 b + 4 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$9 = 4 b + 4 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Этап 3.4.2.1.2

Добавим

$4 b$ и

$4 b$ .

$9 = 8 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$9 = 8 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$9 = 8 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$9 = 8 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Этап 3.5

Решим относительно

$b$ в

$9 = 8 b + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде

$8 b + 3 = 9$ .

$8 b + 3 = 9$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Этап 3.5.2

Перенесем все члены без

$b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вычтем

$3$ из обеих частей уравнения.

$8 b = 9 - 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Этап 3.5.2.2

Вычтем

$3$ из

$9$ .

$8 b = 6$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$8 b = 6$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Этап 3.5.3

Разделим каждый член

$8 b = 6$ на

$8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим каждый член

$8 b = 6$ на

$8$ .

$\frac{8 b}{8} = \frac{6}{8}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Этап 3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Сократим общий множитель

$8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 b}{8} = \frac{6}{8}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Этап 3.5.3.2.1.2

Разделим

$b$ на

$1$ .

$b = \frac{6}{8}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{6}{8}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{6}{8}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Этап 3.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1

Сократим общий множитель

$6$ и

$8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1.1

Вынесем множитель

$2$ из

$6$ .

$b = \frac{2 (3)}{8}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Этап 3.5.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель

$2$ из

$8$ .

$b = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Этап 3.5.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$b = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Этап 3.5.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$b = \frac{3}{4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{3}{4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{3}{4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{3}{4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{3}{4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{3}{4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Этап 3.6

Заменим все вхождения

$b$ на

$\frac{3}{4}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Заменим все вхождения

$b$ в

$a = \frac{b}{4}$ на

$\frac{3}{4}$ .

$a = \frac{\frac{3}{4}}{4}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

Этап 3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Упростим

$\frac{\frac{3}{4}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$a = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

Этап 3.6.2.1.2

Умножим

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.2.1

Умножим

$\frac{3}{4}$ на

$\frac{1}{4}$ .

$a = \frac{3}{4 \cdot 4}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

Этап 3.6.2.1.2.2

Умножим

$4$ на

$4$ .

$a = \frac{3}{16}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

$a = \frac{3}{16}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

$a = \frac{3}{16}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

$a = \frac{3}{16}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

$a = \frac{3}{16}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

Этап 3.7

Перечислим все решения.

$a = \frac{3}{16}, b = \frac{3}{4}, c = 3$

Этап 4

Подставим фактические значения

$a$ ,

$b$ и

$c$ в формулу квадратного уравнения, чтобы найти результирующее уравнение.

$y = \frac{3 x^{2}}{16} + \frac{3 x}{4} + 3$

Этап 5

Введите СВОЮ задачу